Aufgabenbeispiel zur kurvendisskusion
Aufgabenbeispiel zur Kurvendiskussion (1) Definitionsbereich (2) Achsenschnittpunkte (3) Grenzwerte für x -> + ¥ Ù x-> - ¥ Grenzwertverhalten an den Polstellen Ableitungen (6) Extrempunkte (7) Polynomdivision -> Asymptotengleichung 1.Beispiel : f(x) = (x^2-4)/(x-1) (1) Definitionsbereich D(f) = R \ {1} Bedingung : x-1 ¹ 0 x-1 = 0 ó x = 1 Achsenschnittpunkte Schnittpunkte mit x-Achse Bedingung : f(x) = 0 x^2-4 = 0 ó x = ± Ö 4 ó x = -2 Ú x = 2 (Auflösen nach x) oder x^2-4 = 0 ó (x+2)(x-2) = 0 ó x = -2 Ú x = 2 (Binomische Formeln) =>Sx1 (-2;0) Ù Sx2 (2;0) Schnittpunkte mit y-Achse Bedingung : x = 0 f(0) = (0^2-4)/(x-1) = -4/-1 = 4 =>Sy(0;4) Grenzwerte für x-> - ¥ Ù x-> + ¥ lim f(x) = lim x^2-4 = lim x(x-4/x) = lim x-4/x [ = ¥ /1] = + ¥ x->¥ x->¥ x-1 x->¥ x(1-1/x) x->¥ 1-1/x oder lim f(x) = lim x^2-4 = lim 1-4/x^2 [ = 1/0] = +¥ x->¥ x->¥ x-1 x->¥ 1/x-1/x^2 lim f(x) [ = -¥ /1] = - ¥ x->-¥ Folgerung : lim f(x) = ¥ Ù lim f(x) = - ¥ x->¥ x->-¥ Grenzwertverhalten an den Polstellen l-lim f(x) = lim (1-h)^2-4 = lim 1-2h+h^2-4 [ = -3/-h] = ¥ x->1 h->0 (1-h)-1 h->0 -h r-lim f(x) = lim (1+h)^2-4 = lim 1+2h+h^2-4 [ = -3/h] = - ¥ x->1 h->0 (1+h)-1 h->0 h Folgerung : Die Funktion f(x) = x^2-4 x-1 besitzt eine Unendlichkeitsstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - an der Stelle x=1 Ableitungen 1.Ableitung f’(x) = 2x(x-1)-(x^2-4)1 (x-1)^2 = x^2-2x+4 (x^2-2x+1) 2.Ableitung f’’(x) = (2x-2)(x^2-2x+1)-(x^2-2x+4)(2x-2) (x-1)^4 = -6x+6 = -6(x-1) = _-6__ (x-1)^4 (x-1)^4 (x-1)^3 3.Ableitung f’’’(x) = 18 (x-1)^4 Extrempunkte notwendige Bedingung : f’(x) = 0 f’(x) = x^2-2x+4 = 0 (x-1)^2 ó x^2-2x+4 = 0 ó x1 = 1 + Ö 1-4 nicht definiert x2 = 1 - Ö 1-4 nicht definiert LL = { } Folgerung : Es gibt keine Hoch- oder Tiefpunkte Asymptotengleichung (x^2-4) : (x-1) = x+1 + (-3)/(x-1) -(x^2-x) x-4 -(x-1) -3 (x^2-4) : (x-1) = x+1 + (-3)/(x-1) ó (x^2-4)/(x-1) = x+1 - 3/(x+1) = f(x) ¦ -(x+1) ¯ ¯ f(x) g(x) ->0(x->± ¥ ) Behauptung : lim f(x) = lim g(x) x->± ¥ x->± ¥ Beweis : x^2-4 - (x-1) = - 3 x-1 x-1 ¯ f(x) - g(x) = - 3 x-1 lim (f(x)-g(x) = lim - 3 x->¥ x->¥ x-1 lim f(x) - lim g(x) = 0 ½ +[ lim g(x)] x->¥ x->¥ x->¥ ó lim f(x) = lim g(x) x->¥ x->¥
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