Bsp. 1)
DIE GANZE WAHRHEIT
1) Ellipse
Skizze
1. Hauptlage:
2. Hauptlage:
A, B ... Hauptscheitel
B
AB = 2a .
.. Hauptachse
C, D ... Nebenscheitel
B
CD = 2b .
.. Nebenachse
F1, F2 ... Brennpunkte
B
F1F2 = 2e
B
MF1 = MF2 = e .
.. Brennweite,lineare Exzentrizität
l1, l2 ... Leitstrecken
M (0|0) .
.. Mittelpunkt
a² = b² + e²
Definition
Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, für die die Summe der Abstände zu 2 festen Punkten, den Brennpunkten, konstant 2a ist.
B B
ell = {X | XF1 + XF2 = 2a} = {X | l1 + l2 = 2a}
Spezialfälle
a) a = b => e = 0; b = a = r; F1 = F2 = M Kreis
b) e = b Gleichseitige Ellipse
c) e konst (selbe Brennpunkte) Konfokale Ellipse
je größer b, desto größer a
Konstruktion
Punkte A, B, C, D, M, F1 und F2 einzeichnen
Rechteck MBEC zeichnen
die Normale auf die Gerade (B,C) durch E zeichnen à MB und MC Mittelpunkte der Schmiegekreise, durch Spiegelung MA und MD einzeichnen
neben Ellipse Strecke 2a zeichnen
mit Zirkel von F1 Strecke in kritischen Bereich zwischen Schmiegekreisen abschlagen und bei 2a abtragen
(2a – abgetragener Strecke) von F2 abschlagen à X1, Spiegeln
sooft wiederholen, bis Ellipse zeichenbar
Gleichungen
Gleichung einer Ellipse in 1. Hauptlage:
Gleichung einer Ellipse in 2. Hauptlage:
b²x² + a²y² = a²b²
a²x² + b²y² = a²b²
Ableitung der Gleichung einer Ellipse in 1.
Hauptlage
X (x|y) F1 (-e|0) F2 (e|0)
B
XF1 = Ö[(-e – x)² + (-y)²] = Ö (e² + 2ex + x² + y²)
B
XF2 = Ö [(e – x)² + (-y)²] = Ö (e² – 2ex + x² + y²)
B B
XF1 + XF2 = 2a
Ö (e² + 2ex + x² + y²) + Ö (e² – 2ex + x² + y²) = 2a | - Ö
Ö (e² + 2ex + x² + y²) = 2a - Ö (e² – 2ex + x² + y²) | ²
e² + 2ex + x² + y² = 4a² – 4aÖ (e² – 2ex + x² + y²) + e² – 2ex + x² + y²
4ex – 4a² = -4aÖ (e² – 2ex + x² + y²) | :4
ex – a² = -aÖ (e² – 2ex + x² + y²) | ²
e²x² – 2a²ex + a4 = a²e² - 2a²ex + a²x² + a²y² | – e²x² – a²e²
a4 – a²e² = a²x² – e²x² + a²y²
a²(a² – e²) = x²(a² – e²) + a²y²
a² – e² = b²
b²x² + a²y² = a²b² | :a²b²
Berührbedingung
geg.: g: y = kx + d
Ellipse in 1. Hauptlage: a²k² + b² = d²
2. Hauptlage: b²k² + a² = d²
Kreis in Ursprungslage: r²(1 + k²) = d² a² = b² = r²
allgemeiner Lage r²(1 + k²) = (uk – v + d)²
Ableitung der Berührbedingung einer Ellipse in 1. Hauptlage
geg.: ell: b²x² + a²y² = a²b²
g: y = kx + d
g Ç ell:
b²x² + a²(kx + d)² = a²b²
b²x² + a²k²x² + 2a²dkx + a²d² = a²b²
x²(b² + a²k²) + x(2a²dk) + a²d² – a²b² = 0
(b² + a²k²)x² + (2a²dk)x + (a²d² – a²b²) = 0 | :(b² + a²k²)
D = a²k² + b² – d²
D > 0 2 Lösungen Sekante
D = 0 1 Lösung Tangente
D < 0 0 Lösungen Passante
Tangentengleichung und Polarengleichung
geg.
: Ellipse
T (x1|y1) Î ell à Tangente t durch T
P (x1|y1) Ï ell à Polare p
Die Polare p geht durch die Schnittpunkte T1 und T2 (Tangenten durch P Ç Ellipse)
Ellipse in 1. Hauptlage:
Ellipse in 2. Hauptlage:
b²xx1 + a²yy1 = a²b²
a²xx1 + b²yy1 = a²b²
2) Hyperbel
Skizze
1. Hauptlage:
2. Hauptlage:
A, B ..
. Hauptscheitel
B
AB = 2a ... Hauptachse
C, D ..
. Nebenscheitel
B
CD = 2b ... Nebenachse
F1, F2 ..
. Brennpunkte
B
F1F2 = 2e
B
MF1 = MF2 = e ... Brennweite,lineare Exzentrizität
l1, l2 ..
. Leitstrecken
M (0|0) ... Mittelpunkt
u, v ..
. Asymptoten der Hyperbel
MA, MB ... Mittelpunkte der Schmiegekreise
Definition
Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte, für die die Differenz der Abstände zu 2 festen Punkten, den Brennpunkten, konstant 2a ist.
B B
hyp = {X | XF1 – XF2 = 2a} = {X | |l1 – l2| = 2a}
Spezialfälle
a) a = b => e = aÖ2
b) e konst (selbe Brennpunkte) Konfokale Hyperbeln
Konstruktion
Punkte A, B, C, D, M, F1 und F2 einzeichnen
Rechteck MBEC zeichnen
Asymptoten einzeichnen
die Normale auf die Asymtote (M,E) durch E zeichnen à MB Mittelpunkte des Schmiegekreises des rechten Hyperbelastes, durch Spiegelung MA einzeichnen
neben Hyperbel Strecke 2a zeichnen
mit Zirkel von F1 Strecke bis außerhalb des Schmiegekreises abschlagen und bei 2a abtragen
(abgetragener Strecke – 2a) von F2 abschlagen à X1, Spiegeln
sooft wiederholen, bis Hyperbel zeichenbar
Gleichungen
Gleichung einer Hyperbel in 1.
Hauptlage:
Gleichung einer Hyperbel in 2. Hauptlage:
B²x² - a²y² = a²b²
-a²x² + b²y² = a²b²
Ableitung der Gleichung einer Hyperbel in 1. Hauptlage
X (x|y)
Linker Ast:
B B
XF1 – XF2 = -2a
Ö[(-e-x)²+y²] – Ö[(e-x)²+y²] = -2a
Ö(e²+2ex+x²+y²) = Ö(e²–2ex+x²+y²) – 2a | ²
e²+2ex+x²+y² = e²-2ex+x²+y²-4aÖ[(e-x)²+y²] +4a²
4ex – 4a² = -4a Ö(e² – 2ex + x² + y²) | :4 | ²
e²x² – 2a²ex + a4 = a²(e² – 2ex + x² + y²)
rechter Ast:
B B
XF1 – XF2 = 2a
Ö[(-e-x)²+y²] – Ö[(e-x)²+y²] = 2a
Ö(e²+2ex+x²+y²) = Ö(e²–2ex+x²+y²) + 2a | ²
e²+2ex+x²+y² = e²-2ex+x²+y²+4aÖ[(e-x)²+y²] +4a²
4ex – 4a² = 4a Ö(e² – 2ex + x² + y²) | :4 | ²
e²x² – 2a²ex + a4 = a²(e² – 2ex + x² + y²)
e²x² – 2a²ex + a4 = a²e² – 2a²ex + a²x² + a²y²
e²x² – a²x² – a²y² = a²e² – a4
x²(e² – a²) – a²y² = a²(e² – a²) e² – a² = b²b²x² – a²y² = a²b² | :a²b²
Berührbedingung
geg.: g: y = kx + d
Hyperbel in 1. Hauptlage: d² + b² - a²k² = 0
2. Hauptlage: d² - a² + b²k² = 0
Ableitung der Berührbedingung einer Hyperbel in 1.
Hauptlage
geg.: hyp: b²x² - a²y² = a²b²
g: y = kx + d
g Ç hyp:
b²x² - a²(kx + d)² = a²b²
b²x² - a²k²x² - 2a²dkx - a²d² = a²b²
x²(b² - a²k²) - x(2a²dk) - a²d² - a²b² = 0
(b² - a²k²)x² - (2a²dk)x + (-a²d² – a²b²) = 0 | :(b² - a²k²)
D = -a²k² + b² + d²
D > 0 2 Lösungen Sekante
D = 0 1 Lösung Tangente
D < 0 0 Lösungen Passante
(b² - a²k²) ¹ 0
Spezialfall:b² - a²k² = 0
b² = a²k²
k² =
k = ±
d = 0 d ¹ 0
y = ±x y = ±+ d
Asymptote || Asymptote
Asymptote:
0x² - 0x – a²b² = 0 f.A.L = {}
|| Asymptote:
0x² + ...
+ a²b² = 0
¹0 1Lös
Þ Jede Parallele zu einer Asymptote schneidet die Hyperbel genau 1x.
Tangentengleichung und Polarengleichung
geg.: Hyperbel
T (x1|y1) Î hyp à Tangente t durch T
P (x1|y1) Ï hyp à Polare p
Hyperbel in 1. Hauptlage:
Hyperbel in 2. Hauptlage:
b²xx1 - a²yy1 = a²b²
-a²xx1 + b²yy1 = a²b²
3) Parabel
Skizze
1. Hauptlage:
2.
Hauptlage:
3. Hauptlage:
4. Hauptlage:
F ... Brennpunkt
A .
.. Scheitel der Parabel
Parabel
LF = p ....
......
... Parameter
l ...
Leitlinie
a ......
......
......
.... Achse
Definition
Eine Parabel ist die Menge aller Punkte, für die der Abstand zu einem festen Punkt F, dem Brennpunkt, gleich dem Abstand zur Leitlinie ist.
B B par = {X | XF = Xl}
Konstruktion
Punkte A, F und L einzeichnen
MA Mittelpunkt des Scheitelkrümmungskreises einzeichnen (Abstand von F = )
Hilfslinien parallel zur Leitlinie einzeichnen
Strecke von Leitlinie zu einer Hilfslinie in Zirkel nehmen und von F abschlagen
sooft wiederholen, bis Parabel zeichenbar
Gleichungen
Gleichung einer Parabel in 1.
Hauptlage:
Gleichung einer Parabel in 2. Hauptlage:
y² = 2px
x² = 2py
Gleichung einer Parabel in 3. Hauptlage:
Gleichung einer Parabel in 4. Hauptlage:
y² = -2px
x² = -2py
Gleichung der Leitlinie in 1. Hauptlage:
Gleichung der Leitlinie in 2. Hauptlage:
l = -x
l = -y
Gleichung der Leitlinie in 3.
Hauptlage:
Gleichung der Leitlinie in 4. Hauptlage:
l = x
l = y
Ableitung der Gleichung einer Parabel in 1. Hauptlage
X (x|y) B B
XF = Xl
=
|| = Ö[(x - )² + y²] = d
B Xl:
= 0 HNF x + = d
Ö[(x - )² + y²] = x + | ²
x² - px -+ ()² + y² = x² + px + ()²
y² = 2px
Berührbedingung
geg.: g: y = kx + d
Parabel in 1. Hauptlage: p = 2kd
2. Hauptlage: k²p = -2d
3.
Hauptlage: p = -2kd
4. Hauptlage: k²p = 2d
Ableitung der Berührbedingung einer Parabel in 1. Hauptlage
geg.: par: y² = 2px
g: y = kx + d
g Ç par:
k²x² + 2dkx + d² = 2px
k²x² + (2dk - 2p)x + d² = 0 | :k² ¹ 0
D = p² - 2kdp
p(p – 2kd) = 0
p = 2kd
D > 0 2 Lösungen Sekante
D = 0 1 Lösung Tangente
D < 0 0 Lösungen Passante
k² ¹ 0 Spezialfall:k² = 0
k = 0
Þ y = d || x-Achse
2px = d² 1 Lösung
Þ Jede Parallel zur x-Achse schneidet die Parabel genau 1x.
Tangentengleichung und Polarengleichung
geg.: Hyperbel
T (x1|y1) Î hyp à Tangente t durch T
P (x1|y1) Ï hyp à Polare p
par: y² = 2px
yy = px + px
Parabel in 1.
Hauptlage:
Parabel in 2. Hauptlage:
yy1 = p(x + x1)
xx1 = p(y + y1)
Parabel in 3. Hauptlage:
Parabel in 4. Hauptlage:
yy1 = -p(x + x1)
xx1 = -p(y + y1)
Konstruktion einer Tangente
4) Komplexe Zahlen
Das Symbol „i“
x² = a G = R
a > 0 L = {Öa]; -Öa}
a = 0 L = {0(2)}
a < 0 L = {}
Þ $ C ...
Menge der komplexen Zahlen
x² = -1
x² = (-1)
x12 = ± Ö(-1)
x² = -4
x² = 4(-1)
x12 = ± 2 Ö(-1)
x² = -¾
x² = ¾(-1)
x12 = ± Ö¾ Ö(-1)
x² = -a a Î R+; a > 0
x² = a(-1)
x12 = ± Öa Ö(-1)
L = {+i ; -i}
L = {2i ; -2i}
L = {¾i ; -¾i}
L = {Öa i ; -Öa i
Definition: Ö(-1) = ii = Ö(-1) | ²
i² = [Ö(-1)]²
i² = -1
Vorsicht: [Ö(-1)]² ¹ Ö[(-1)²]
-1 ¹ 1
Quadratische Gleichung:
ax² + bx + c = 0 a, b, c Î R; a ¹ 0 G = C
x12 = = - ±
D = b² - 4ac
D > 0 L = {- + ; - – }
D = 0 L = {(-)(2)}
D < 0
Ö(b² – 4ac) = Ö(4ac – b²) Ö(-1)
< 0 > 0 i
L = {- + i; - – i}
Allgem. Komplexe Zahl:
z = a + b i
a ... Realteil Re(z)
b ..
. Imaginärteil Im(z)
z = Re(z) + Im(z) i
Spezialfälle:
b = 0 Þ z = a + 0i = a ... reelle Zahl Î R R Ì C
a = 0 Þ z = 0 + bi = bi ..
. imaginäre Zahl Î C Im Ì C
N Ì Z Ì Q
I
Ì R Ì C
Jede reelle Zahl lässt sich als komplexe Zahl schreiben.
3,9 = 3,9 + 0i
Ö¾ = Ö¾ + 0i
p = p + 0i
Gleichheit von komplexen Zahlen:
z1 = a + bi
z2 = c + diz1 = z2 Û (a = c) Ù (b = d)
Koeffizientenvergleich:Zwei komplexe Zahlen sind gleich,
wenn sowohl ihre Realteile als auch ihre Imaginärteile übereinstimmen.
Rechenregeln
z1 = a + bi z2 = c + di
Addition:
z1 + z2 = a + bi + c + di = (a + c) + (b + d)i Î C
Î R Î R
Subtraktion:
z1 + z2 = (a – c) + (b – d)i
Multiplikation:
z1 × z2 = (a + bi) × ( c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac – bd) + (bc + ad)i
Division:
Î C
Re(z) Im(z)
c² + d² > 0; sonst c = 0, d = 0 Þ z2 = 0
Potenzen von i:
i¹ = i i5 = i
i² = -1 i6 = -1
i³ = i² i = (-1) i = -i :
i4 = i² i² = 1 :
Konjugiert komplexe Zahlen: z = a + bi
= a – bi ...
konjugiert komplexe Zahl zu z [z quer]
Eigenschaften von konjugiert komplexen Zahlen:
= z
z + = 2a Î R
z – = 2bi Î Im
z × = (a + bi) (a – bi) = a² + b² Î R
umgekehrt:
a² + b² in C zerlegbar, in R nicht!
Satz von VIETA gilt auch für komplexe Zahlen:
z² + pz + q = 0 p, q Î C mit Lösungen z1, z2
z1 + z2 = -p
z1 × z2 = q
z² + pz + q = (z - z1) (z - z2)
Spezialfall:
NUR wenn p UND q Î R Þ z1, z2 ... konjugiert komplex
GAUSSsche Zahlenebene
z = 4 + 2i
Jede komplexe Zahl lässt sich eindeutig als Punkt (=Ortsvektor) in der GAUSSschen Zahlenebene darstellen.
|z| ..
. Länge des Vektors
|z| = Ö(a² + b²) = r Î R ... Radius der komplexen Zahl = Abstand vom Ursprung (0|0i)
auch Nm(z) = |z|² = a² + b² = r² [Norm von z]
|z|² = |z²|
Darstellungsmöglichkeiten
Kartesische Darstellung:
geordnetes Zahlenpaar (a ; b)
Binominalform z = a + bi
Polarkoordinatendarstellung:
geordnetes Zahlenpaare (r ; j)
r ..
. |z| ³ 0 Î R0+ Betrag von z
0° £ j < 360° Argument von z
Hauptwert
Trigonometrische Form z = r (cos j + i sin j)
Zusammenhang:
r = Ö(a² + b²)
tan j =
cos j = a = r cos j
sin j = b = r sin j
Multiplikation und Division komplexer Zahlen mit Hilfe von Polarkoordinaten:
z1 = r1 (cos j1 + i sin j1)
z2 = r2 (cos j2 + i sin j2)
Multiplikation:
z1 × z2 = r1 (cos j1 + i sin j1) × r2 (cos j2 + i sin j2) =
= r1 r2 (cos j1 cos j2 – sin j1 sin j2 + cos j1 sin j2 i + cos j2 sin j1 i) =
= r1 r2 [(cos j1 cos j2 – sin j1 sin j2) + i (cos j1 sin j2 + cos j2 sin j1)] =
= r1 r2 [ cos (j1 + j2) + i sin (j1 + j2)]
z1 × z2 = r1 r2 [ cos (j1 + j2) + i sin (j1 + j2)] = (r1 r2 ; j1 + j2)
Beim Multiplizieren von komplexen Zahlen werden die Radien multipliziert
und die Argumente = Winkel addiert.
Division:
z1 : z2 =
z1 : z2
Beim Dividieren von komplexen Zahlen werden die Radien dividiert
und die Argumente = Winkel subtrahiert.
Graphisches Rechnen
Addition:
Subtraktion:
Def.: z1 – z2 = z1 + (-z2)
2025
Multiplikation:
Def.: z1 × z2
Def.
: z2 × z1
Winkel von z1 und z2 addieren
Spitze von z1 mit Einheitspunkt E verbinden
Winkel a bei Einheitspunkt E bei Spitze von z2 abtragen
Beweis:
D0Ez1 » D0 z2 z1z2 ... Strahlensatz gilt
B B B B
0E : 0z1 = 0z2 : 0z1z2
1 : r1 = r2 : r1r2
r1r2 = r1r2 wzbw
Division:
Def.: z1 : z2
Def.: z2 : z1
Winkel von z2 vom Winkel von z1 subtrahieren
Spitze von z1 mit Spitze von z2 verbinden
Winkel a bei Spitze von z2 bei Einheitspunkt E abtragen
Beweis:
Probe: z2 × = z1
Potenzieren
z = r (cos j + i sin j) n Î R
zn = [r (cos j + i sin j)]n = rn (cos j + i sin j)n
zn = rn [cos j + j + j + .
.. + i sin j + j + j +...] = rn (cos n j + i sin n j)
Þ (cos j + i sin j)n = cos n j + i sin n jFormel von DE MOIVRE
Radizieren (Wurzelziehen)
Definition:
z Î C heißt n-te Wurzel aus z Î C [Zeta]z = nÖz , wenn zn = zn Î N \ {0,1}
Beispiel:
(1 + i)² = 2i
(-1 - i)² = 2i
z1 = (1 + i)
Þ Ö2i =
z2 = (-1 – i)
mit Binomialform:
Ö[2i] = a+bi | ²
2i = a² + 2abi + b²i²
0 + 2i = (a² - b²) + 2abi .
.. Koeffizientenvergleich
Þ 0 = a² - b² 2 = 2ab
1 = ab
b =
0 = a² - | × a²
a4 = 1 | Ö
a² = ± 1 a muss reell sein! Þ -1 keine Lösung
a1 = 1
a2 = -1
b1 = 1
b2 = -1
Ö2i =
1 + i
-1 - i
mit Polarkoordinaten:
geg.: z = (r ; j) r Î R+; 0 £ j < 2p (Hauptwert)
ges.: z = Öz = (r ; a)
(r ; a) = Ö(r ; j) | ²
(r ; a)² = (r ; j)
(r² ; 2a) = (r ; j)
r² = r 2a = j 2a = j + 360°
r = Ör a = a = + 180°
nÖz = nÖ(r ; j) =
(nÖr ; ) ..
. 1. Nebenwert
(nÖr ; + 1×) ... 2.
Nebenwert
(nÖr ; + 2×) ... 3. Nebenwert
(nÖr ; + (n – 1)× ) ..
. n. Nebenwert
n Lösungen
(nÖr ; + (k – 1)×) k = 1, 2, 3, ..., n Eine Wurzel aus einer komplexen Zahl ist wieder eine komplexe Zahl.
Exponentialform
cos j + i sin j = eijEULERsche FormelBeispiel:
z = r × eij
e2pi = 1
cos 2p + i sin 2p = 1
1 + i × 0 = 1
e(p/2)i = i
cos + i sin = i
0 + i × 1 = i
ii = (e(p/2)i)i = e(p/2)i² = e(-p/2) = 1/[e(p/2) ] = 0,207879576351 Î R!
iÖi = (e(p/2)i)(i/2) = e(p/2) = Öep = 4,810477381
a = e ln a
Beweis:
a = e ln a | ln
ln a = (ln a) (ln e)
ln a = ln a
allgem.:
xlog a
a = x
Beispiel:
2i = (eln2)i = cos ln2 + i sin ln2 = cos 0,693147181 + i sin 0,693147181 =
= 0,769238901 + i 0,638961276Radianten!
5) Komplexe Zahlenals nichtgeordneter Körper
R ist geordnet, da " a, b Î R gilt: a < b oder
a = b oder
a > b
C ist nicht geordnet, da " z1, z2 Î C gilt: z1 = z2 oder
z1 ¹ z2
Beispiel: i, 2i
„=“ i = 2i | -i
0 = i
reell nicht reell
Î R Ï R f.A.
„<“ i < 2i | -i
0 < i
i > 0 | ×(i > 0)
i² > 0
-1 > 0 f.A. indirekter Beweis
„>“ i > 2i | -i
0 > i
i < 0 | ×(i < 0)
i² > 0
-1 > 0 f.
A.
Þ Es ist sinnlos, bei komplexen Zahlen von > oder < zu sprechen; nur = oder ¹ !
Þ C ist nicht geordnet
C ist ein Körper:
(C;+) ... abelsche (=kommutative) Gruppe [C bezüglich plus]
Abgeschlossenheit
z1 + z2 = z3 Î C
Assoziativgesetz (AG)
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
neutrales Element n
" z Î C $ n Î C
z + n = n + z = z
n = 0 = 0 + 0i Î C
inverses Element z*
" z Î C $ z* Î C
z + z* = z* + z = n = 0
z* = -z Î C
Þ Gruppe
Kommutativgesetz (KG)
z1 + z2 = z2 + z1
(C\{n = 0}; × ) ..
.abelsche Gruppe [C bezüglich mal]
Abgeschlossenheit
z1 × z2 = z3 z3 ¹ 0
Assoziativgesetz (AG)
(z1 × z2) × z3 = z1 × (z2 × z3)
neutrales Element n1
" z Î C\{0} $ n1 Î C\{0}
z × n1 = n1 × z = z
n1 = 1 = 1 + 0i Î C
inverses Element z*
" z Î C\{0} $ z* Î C\{0}
z × z* = z* × z = n1 = 1
z × z* = 1 | :z ¹ 0
z* = 1/z = 1/(a + bi)
Þ Gruppe
Kommutativgesetz (KG)
z1 × z2 = z2 × z1
Distributivgesetz (DG)
(z1 + z2) z3 = z1 z3 + z2 z3
z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3
ERST wenn 1), 2) und 3) erfüllt sind, spricht man von einem Körper.
Þ C ist ein nicht geordneter Körper
6) Berechne Ö(-½ – i) auf 2 verschiedene Arten
Berechne Ö(-½ – i) auf zwei Arten und zeige, dass eine Lösung eine dritte Einheitswurzel ist.
Kartesische Darstellung:
Ö(-½ – i) = a + bi | ²
(-½ – i) = a² + 2abi – b²
-½ = a² – b² -) = 2ab
a = -
-½ = – b² | ×16b²
-8b² = 3 – 16b4
16b4 – 8b² – 3 = 0 b² = u
16u² – 8u – 3 = 0
u12 =
u1 = 24/32 = ¾ b12 = ± a12 = ± = ±½
u2 = -8/32 = -¼ b34 = ± Ï R
L = {-½ + i ; ½ – i}
Polarkoordinatendarstellung:
r = Ö(a² + b²) = Ö(¼ + ¾) = Ö1 = 1
tan j = = -:(-½) = Ö3
j = arctan Ö3 = 240°
Ö(-½ – i) = Ö[(1;240°)] = (Ö1; 240°/2) = (1;120°) = -½ + i
Ö[(1;240°)] = (Ö1; [240°+360°]/2) = (Ö1; 600°/2) = (1;300°) = ½ – i
L = {-½ + i ; ½ – i }
Dritte Einheitswurzel:
z³ – 1 = (z - 1) (z² + z + 1) = 0
z1 = 1
z² + z + 1 = 0
z23 = -½ ± Ö(¼ – 1) = -½ ± Ö(-¾) = -½ ± i
z2 = -½ + i
z3 = -½ – i
L = {1 ; -½ + i ; -½ – i }
7) Berechne 9z² - 18(1+i)z + 2(16+21i) = 0
9z² – 18(1 + i)z + 2(16 + 21i) = 0 G = C
Ö(-1152 – 864i) = Ö[(1440 ; 216,87°)]
= (Ö(1440) ; 216,87°/2) =
= (37.95 ; 108,43°) =
= -12 + 36i
= (Ö(1440) ; [216,87° + 360°] /2) =
= (Ö[1440]; 576,87°/2) =
= (37,95 ; 288,43°) =
= 12 – 36i
L = { – i ; ¯ + 3i}
8) Polinome
Definition
Eine Linearkombination der Form
n
Pn(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ..
. + a1 x + a0 = å ai xi
i=0
(wobei ai Î C und an ¹ 0) heißt Polynom n-ten Grades über der Menge C in 1 Variable.
n ... Grad des Polynoms
ai .
.. Koeffizienten
a0 ... konstantes Glied
Jedes Polynom ist eine zusammenhängende Kurve (Þ keine Sprungstellen!)
Beispiel:
4x² + 23x – 7 Polynom 2.
Grades über Z
Ö3 x7 – (4 + 3i) x4 + 2 Polynom 7. Grades über C
x³ + Öx KEIN Polynom
2x + KEIN Polynom
HORNERsches Verfahren
P3(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
a3
a2
a1
a0
a
a3
a3 a + a2
(a3 a + a2 ) a + a1
[(a3 a + a2 ) a + a1] a + a0
Beweis:
P3(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 =
= (a3 x3 + a2 x2 + a1) x + a0 =
= [(a3 x3 + a2 x) x + a1] x + a0 =
Beispiel:
P4(x) = 5x4 – x3 + 3x + 4 über Z
P4(2) = 5 × 24 – 23 + 3 × 2 + 4 = 5 × 16 – 8 + 6 +4 = 82
P4(-3) = 5 × (-3)4 – (-3)3 + 3 × (-3) + 4 = 5 × 81 + 27 – 9 +4 = 427
5
-1
0
3
4
2
5
9
18
39
82
-3
5
-16
48
-141
427
i
5
-1 + 5i
-5 - i
4 – 5i
9 + 4i
Beispiel:
P3(z) = z³ – 2z² + z – 3
P3(2+i) = -5 + 4i
P3(2-i) = -5 – 4i
1
-2
1
-3
(2 + i)
1
i
2i
-5 + 4i
(2 – i)
1
-i
-2i
-5 – 4i
allgemein:
dP() = P(z) , NUR wenn ai Î R!
Nullstellen
Polynom
Pn(a) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ... + a2x² + a1x + a 0
Polynomfunktion:
y = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ..
. + a2x² + a1x + a 0
à Wertetabelle à Graph ermittelbar
Nullstellen ermitteln:
rechnerisch: Ausdruck gleich Null setzen
graphisch: wo Graph x-Achse schneidet
Eine Zahl a Î C heißt Nullstelle von Pn(a) , wenn Pn(a) = 0.
Beispiel:
P4(x) = 4x4 – 79x2 – 20 ist 2 Ö5 Nullstelle?
4
0
-79
0
-20
2 Ö5
4
8 Ö5
1
2 Ö5
0
à 2 Ö5 ist Nullstelle
Fundamentalsatz der Algebra von GAUSS:
Jedes Polynom n-ten Grades (n Î N) hat mindestens 1 Nullstelle in C.
Þ Jedes Polynom n-ten Grades hat genau n Nullstellen in C.
4 reelle Nullstellen à Polynom min. (!) 4.
Grades
Zerfällen von algebraischen Gleichungen
mit dem Satz von VIETA für Gleichungen höheren Grades
P4(x) = a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = a4 (x – x1) (x – x2) (x – x3) (x – x4)
L = {x1; x2; x3; x4}
Beweis:
geg: Polynom n-ten Grades Pn(x) = 1 xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ... + a1 x + a0 = 0
Voraussetzung: an = 1 Koeffizient der höchsten Potenz = 1
Nullstellen ermitteln à Polynom wird algebraische Gleichung
Annahme: x1 ...
Lösung von Pn(x)
Pn(x1) = 1 x1n + an-1 x1n-1 + an-2 x1n-2 + ... + a1 x1 + a0 = 0
Pn(x) – Pn(x1) = (xn – x1n) + an-1 (xn-1 – x1n-1) + an-2 (xn-2 – x1n-2) + ...
+ a1 (x – x1) = 0
= (x – x1) [xn-1 + bn-2 xn-2 + ... + b1 x + b0] = 0 ...
Polynom (n-1)-ten Grades
Annahme: x2 ... Lösung
= (x – x1) (x – x2) [xn-2 + cn-3 xn-3 + ...
+ c1 x + c0] = 0 ... Polynom (n-2)-ten Grades
Þ $ n Lösungen: x1; x2; ...
; xn
(x – x1) (x – x2) (x – x3) ... (x – xn) = 0
Pn(x) = xn + an-1 xn-1 + ...
+ a1 x + a0 = (x – x1) (x – x2) ... (x – xn)
Pn(x) = an xn + an-1 xn-1 + ...
+ a1 x + a0 = an (x – x1) (x – x2) ... (x – xn)
Satz von VIETA für Gleichungen höheren Grades,
wobei x1; x2; x3; ...
Nullstellen (Lösungen) von Pn(x) sind.
es gilt:
-an-1 = x1 + x2 + ... xn
+an-2 = x1 x2 + x1 x3 + ..
. + x1 xn + ... x2 xn + xn-1 xn
-an-3 = x1 x2 x3 + ..
. + xn-2 xn-1 xn
+
-
(-1)n a0 = x1 x2 ... xn
Beispiel:
geg.: x4 + 2x³ – 13x² – 14x + 24 = 0 G = C
x1 = 1
x2 = -2
x4 + 2x³ – 13x² – 14x + 24 = (x – x1) (x – x2) (x – x3) (x – x4)
x4 + 2x³ – 13x² – 14x + 24 = (x – x3) (x – x4)
(x – 1) (x + 2)
(x4 + 2x³ – 13x² – 14x + 24) : (x² + x – 2) = x² + x – 12 es muss 0 Rest herauskommen
-x4 – x³ + 2x²
x³ – 11x² – 14x
-x³ – x² + 2x
-12x² – 12x + 24
+ 12x² + 12x – 24
0 R
x² + x – 12 = 0
x34 = - ½ ± Ö(¼ + 12] = -½ ± Ö() = -½ ±
x3 = 3
x4 = -4
L = {1; -2; 3; -4}
9) Gleichungen höheren Grades
(³ 3) G = C
Reziproke Gleichungen (Symmetrische Gleichungen)
Eine Gleichung heißt reziprok, wenn zu jeder Lösung a auch Lösung dieser Gleichung ist.
Jede reziproke Gleichung muss auch symmetrisch oder antisymmetrisch sein.
a3 x³ + a2 x² + a1 x + a0 = 0
symmetrisch: a3 = a0
a2 = a1
antisymmetrisch: a3 = -a0
a2 = -a1
Beispiel:
2x³ – 3x² – 3x + 2 = 0 G = C
(2x³ + 2) – (3x² + 3x) = 0
2 (x³ + 1) – 3x (x + 1) = 0
2 (x + 1) (x² – x + 1) – 3x (x + 1) = 0
(x + 1) [2 (x² – x + 1) – 3x] = 0
(x + 1) (2x² – 5x + 2) = 0
x1 = -1 2x² – 5x + 2 = 0
L = {-1 ; ½; 2} Lösungen sind reziprok
Reziproke Gleichungen ungeraden Grades haben entweder +1 oder -1 als Lösung.
Beispiel:
2x³ – 3x² + 3x – 2 = 0 G = C
(2x³ – 2) – (3x² – 3x) = 0
2 (x³ – 1) – 3x (x – 1) = 0
2 (x – 1) (x² + x + 1) – 3x (x – 1) = 0
(x – 1) [2 (x² + x + 1) – 3x] = 0
(x – 1) (2x² – x + 2) = 0
x1 = -1 2x² – x + 2 = 0
L = {1; ¼ + 0,968i; ¼ – 0,968} G = C
L = {1} G = R
Substitution
Beispiel:
2x4 + 5x³ + 4x² + 5x + 2 = 0 | :x² ¹ 0 G = C
2x² + 5x + 4 + + = 0
(2x² + ) + (5x + ) + 4 = 0
2 (x² + ) + 5 (x + ) + 4 = 0
x + = u | ² ... Substitution
x² + 2 + = u²
x² + = u² – 2
2 (u² – 2) + 5u + 4 = 0
2u² + 5u = 0
u (2u + 5) = 0
u1 = 0 u2 = -
x + = 0 | ×x x + = - | ×x
x² + 1 = 0 x² + x + 1 = 0
x² = -1 | Ö
x12 = ± i
x1 = i x3 = -½
x2 = -i x4 = -2
L = {i; -i; -½ ; -2}
Beispiel:
a4 x4 + a2 x² + a0 = 0 G = C
a4 ¹ 0; a3 = 0; a1 = 0
x² = u .
.. Substitution
a4 u² + a2 u + a0 = 0
Herausheben
a3 x³ + a2 x² + a1 x = 0
a0 = 0
x (a3 x² + a2 x + a1) = 0
Allgemeine Gleichungen 4. Grades mit HORNER
x4 + a3 x³ + a2 x² + a1 x + a0 = 0 G = C
a4 = 1
Wenn es ganzzahlige Lösungen gibt,
so kann es sich nur um ein Zahl aus der Teilermenge Ta0 handeln.
a4 x4 + a3 x³ + a2 x² + a1 x + a0 = 0 G = C
a4 ¹ 1Wenn es rationale Lösungen gibt, müssen sie Kombinationen aus sein.Beispiel:
x4 – 6x³ + 14x² – 16x + 8 = 0 G = C
T8 = {±1; ±2; ±4; ±8}
1
-6
14
-16
8
2
1
-4
6
-4
0
x1 = 2
(x4 – 6x³ + 14x² – 16x + 8) : (x – 2) = x³ – 4x² + 6x – 4
-x4 + 2x³
-4x³ + 14x²
4x³ – 8x²
6x² – 16x
-6x² + 12x
-4x + 8
4x – 8
0 R
x³ – 4x² + 6x – 4 = 0
T4 = {±1; ±2; ±4}
1
-4
6
-4
2
1
-2
2
0
x2 = 2
(x³ – 4x² + 6x – 4) : (x – 2) = x² – 2x + 2
-x³ + 2x²
-2x² + 6x
2x² – 4x
2x – 4
-2x + 4
0 R
x² – 2x + 2 = 0
x34 = 1 ± Ö(1 – 2) = 1 ± Ö(-1) = 1 ± i
x3 = 1 + i
x4 = 1 – i
L = {2(2); 1 + i; 1 – i}
Beispiel:
2x4 + x³ – 9x² + 16x – 6 = 0 G = C
T = {± ½; ±1; ± 3/2; ±2; ±3; ±6}
2
1
-9
16
-6
-3
2
-5
6
-2
0
x1 = -3
(2x4 + x³ – 9x² + 16x – 6) : (x + 3) = 2x³ – 5x² + 6x – 2
-2x4 - 6x³
-5x³ - 9x²
5x³+15x²
6x² + 16x
-6x² – 18x
-2x – 6
2x + 6
0 R
2x³ – 5x² + 6x – 2 = 0
T = {± ½; ±1; ±2}
2
-5
6
-2
½
2
-4
4
0
x2 = ½
(2x³ – 5x² + 6x – 2) : (x – ½) = 2x² – 4x + 4
-2x³ + x²
-4x² + 6x
4x² – 2x
4x – 2
-4x + 2
0 R
2x² – 4x + 4 = 0 | :2
x² – 2x + 2 = 0
x34 = 1 ± Ö(1 – 2) = 1 ± Ö(-1) = 1 ± i
x3 = 1 + i
x4 = 1 – i
L = {-3; ½; 1 + i; 1 – i}
CARDANische Formel
Geronimo CARDANO (1501 – 1576)
(Formel entdeckt von Niccolo TARTAGLIA, veröffentlicht von CARDANO)
geg.
: x³ – rx² + sx + t = 0
durch Substitution x = y – Þ y³ + py + q = 0
Lösung x1 = y1 –
dann durch (x – x1) dividieren...
Allgemeine Gleichungen ab 5. Grades
Jede Gleichungen höheren Grades (>4) ist allgemein NICHT lösbar (nur in Spezialfällen).
bewiesen von Emile GALOIS ~1830
10) Funktionen
Stetigkeit
Definition1:Eine Funktion y = f(x) heißt an der Stelle a stetig,
wenn " e > 0 (gelegt um f(a)) $ d > 0 (gelegt um a),
sodass " x Î U(a,d) Þ |f(a) – f(x)| < e.
Definition2:Eine Funktion y = f(x) heißt an der Stelle a stetig,
wenn der linksseitige Grenzwert gleich dem rechtsseitigen Grenzwert Funktionswert ist.
lim f(x) = lim f(x) = f(a) x = a-0 x = a+0
Eine stetige Kurve muß eine zusammenhängende Kurve sein.
Funktionen mit Sprungstellen sind nicht stetig!
Zwischenwertsatz:
Ist f eine in einem abgeschlossenem Intervall [a; b] stetige Funktion, und gilt f(a) ¹ f(b),
so nimmt die Funktion jeden Wert zwischen f(a) und f(b) mindestens 1x an.
Nullstellensatz:Haben f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen, so besitzt f in ]a; b[ mindestens 1 Nullstelle.
Pole:
Punkte, wo die Kurve nicht definiert ist.
à nicht stetig!
z.
B.: Asymptoten
Tangentenproblem
geg.: stetige Kurve y = f(x) à keine Sprungstellen
ges.: Anstieg der Tangente in T (x0|y0) an die Kurve f(x)
Konstruieren einer Sekantenfolge:
<s1 (P1; T); s2 (P2; T); s3 (P3; T); ...
>
Grenzwert der Sekantenfolge = Tangente t in T (x0|y0)
P1 (x1|y1) annehmen Anstieg von s1 (P1; T) = = tan a1
P2 (x2|y2) annehmen Anstieg von s2 (P2; T) = = tan a2
Pn (xn|yn) Anstieg von sn (Pn; T) = = tan an
lim = kt Anstieg der Tangente im Punkt T (x0|y0)
nà¥
xn à x0 = n à ¥
Folge <xn> (xn à x0) wählen:<xn> = <>
Beispiel:
geg.: par: y = x²
ges:: Anstieg im Punkt T (1|y) an Kurve
T in par: T (1|1)
Folge <xn> (xn à x0 = 1) = <>
lim <> = 1
nà¥
y = x²
yn = xn² = ()²
t: y = kx + d
y = 2x + d
T einsetzen: 1 = 2 + d
d = -1
t im Punkt T: y = 2x – 1
11) Differentialrechnung= Infinitesimalrechnung
Unabhängig von einander erarbeiteten
Isaac NEWTON (1643 – 1727) (GB) mit Hilfe der Momentangeschwindigkeit
und
Gottfried Wilhelm LEIBNIZ (1646 – 1716) (D) mit Hilfe des Tangentenproblems
gleichzeitig die Differentialrechnung.
Aufgabe der Differentialrechnung:Bestimmung des Anstiegs einer Kurve (=Anstieg der Tangente) in einem beliebigen Kurvenpunkt
Differenzenquotient – Differentialquotient
geg.: y = f(x) ...
stetig
P (x|y) Î f
Q (x + Dx|y + Dy) Î f
ges.: t in P
Sekantenfolge <s1; s2; s3; ...>
lim sn = t
nà¥
Unter der Tangente in P versteht man die Grenzlage der Sekanten, wenn Q sich P nähert.
Unter dem Anstieg der Kurve in P versteht man den Anstieg der Tangente in P.
Q Î f(x) y + Dy = f(x + Dx)
Dy = f(x + Dx) – y
Dy = f(x + Dx) – f(x)
Steigung der Sekante s1: tan b =
= Differenzenquotient
Anstieg der Sekante
Q ® P Û Dx ® 0
lim tan b = tan a
Dxà0
[dy nach dx]lim tan b = y‘ = f‘(x) = lim = lim = Dxà0 Dxà0 Dxà0Differentialquotient
1. Ableitung der Kurve
Anstieg der Tangente
Beispiel:
geg.: par.: y = x² Q Î par
y + Dy = (x + Dx)²
y + Dy = x² + 2x Dx + Dx²
Dy = x² – y + 2x Dx + Dx² x² – y = 0
Dy = Dx (2x + Dx)
Steigung einer Sekante: ks1 = = = 2x + Dx
Steigung der Tangente: kt = lim = lim (2x + Dx) = 2x
Dxà0 Dxà0
bei (1|1) kt = 2
bei x = -1,5 (-1,25|2,25) kt = -3
mit Hilfe der Differentialrechung:
geg.: f: y = x²
ges.: Anstieg der Kurve
f‘: y‘ = 2x[Beweis siehe Nr12, Ableitung einer Potenz, S36]
12) Ableitung einfacher Funktionen
Konstante Funktionen
y = c
y‘ = 0
y´ = lim = lim = lim = 0
Dxà0 Dxà0 Dxà0
Ableitung einer Potenz
y = xn n Î R
y‘ = n × xn-1
Eine Potenz wird differenziert,
indem man den Potenzexponenten mit der um einen Grad verringerten Potenz multipliziert.
Beweis:
y = f(x) = xn n Î R
y‘ = lim = =
Dxà0
x + Dx = a
x = b
Dx = a – b
a² – b² = (a – b) (a + b)
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
a4 – b4 = (a – b) (a + b) (a² + b²) =
= (a – b) (a³ + a²b + ab² + b³)
a5 – b5 = (a – b) (a4 + a³b + a²b² + ab³ + b4)
an – bn = (a – b) (an-1 + an-2 b + an-3 b² + ... +
abn-2 + bn-1)
in Klammer n Glieder
= lim =
Dxà0
= lim [(x + Dx)n-1 + (x + Dx)n-2 x + ...
+ xn-1] =
Dxà0
= xn-1 + xn-2 x + xn-3 x² + ... + xn-1] =
= xn-1 + xn-1 + xn-1 + ...
+ xn-1 = n × xn-1
n Glieder
Grenzübergang
Konstanter Faktor
geg.: y = a × f(x) = g(x) a Î R ... konstanter Faktor
y‘ = lim = lim = a f‘(x)
Dxà0 Dxà0
y‘ = a × f‘(x) Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten.
Ableitung einer Summe bzw Differenz
Addition:
y = u(x) + v(x) = f(x)
y‘ = u‘(x) + v‘(x)
Voraussetzungen:
$ u‘(x) = lim
Dxà0
$ v‘(x) = lim
Dxà0
Beweis:
y' = lim = lim + =
Dxà0 Dxà0
= lim + lim = u‘(x) + v‘(x)
Dxà0 Dxà0
Subtraktion:
y = u(x) – v(x) = f(x)
y‘ = u‘(x) – v‘(x)
Die Ableitung einer Summe (Differenz) = Summe (Differenz) der Ableitungen
Produktregel
y = u(x) × v(x) = f(x)
y‘ = u‘(x) × v(x) + u(x) × v‘(x)
Voraussetzungen:
$ u‘(x) = lim
Dxà0
$ v‘(x) = lim
Dxà0
Beweis:
y' = lim = lim =
Dxà0 Dxà0
Trick: Addieren und Subtrahieren des Ausdrucks u(x) × v(x + Dx) im Nenner
= lim =
Dxà0
= lim v(x) + u(x) =
Dxà0
= lim v(x) + lim u(x) =
Dxà0 Dxà0
= v(x) × u‘(x) + u(x) × v‘(x) = u‘(x) × v(x) + u(x) × v‘(x)
(f1 f2 f3)‘ = f1‘ f2 f3 + f1 f2‘ f3 + f1 f2 f3‘
Quotientenregel
y = = f(x)
Voraussetzungen:
$ u‘(x) = lim
Dxà0
$ v‘(x) = lim
Dxà0
Beweis:
= f(x) | × v(x)
u(x) = f(x) × v(x)
u‘(x) = f‘(x) × v(x) + f(x) × v‘(x) | – f(x) × v‘(x)
u‘(x) – f(x) × v‘(x) = f‘(x) × v(x) | : v(x)
Spezialfälle:
y = y‘ = –
y = y‘ = - y‘‘ = 2/x³ y‘‘‘ = - 6/x4 y(IV) = 24/x5
Kettenregel
y = h(x) = f(g(x)) = f(z) wobei h = f ° g [Verknüpfung]
z = g(x) .
.. innere Funktion
y = f(z) ... äußere Funktion
zusammengesetzte Funktion
y‘ = f‘(z) × g‘(x)
Ableitung der Kettenregel:
geg.
: y = h(x) = f(g(x)) = f(z)
Voraussetzungen:
$ f‘(z) = lim
Dzà0
$ g‘(x) = lim
Dxà0
Beweis:
g(x) = z
g(x + Dx) = z + Dz
Dz = g(x + Dx) – z
Dz = g(x + Dx) – g(x)
Dx®0 Û Dz®0
y‘ = lim = lim =
Dxà0 Dxà0
= lim × = lim × =
Dxà0 erweitern Dxà0 vertauschen der Nenner
Dzà0
= lim × = lim × lim =
Dxà0 (Dxà0) Dxà0
Dzà0 Dzà0 (Dzà0)
äußere Funktion × innere Funktion
= f‘(z) × g‘(x)
Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion ist gleich
dem Produkt aus der Ableitung der äußeren Funktion und der Ableitung der inneren Funktion.
Beweis der Ableitung einer negativen Potenz (mit Hilfe der Kettenregel):y = x - m = m Î R
y‘ = m × x - m - 1
Beispiel:
y = (x² + 3x + 1)³
y‘ = 3 (x² + 3x + 1)² (2x + 3)
f‘(z) g‘(x)
Höhere Ableitungen einer Funktion
Ist die Ableitung f‘ einer differenzierbaren Funktion f wieder differenzierbar,
so bezeichnet man (f‘)‘ = f‘‘ als 2. Ableitung von f.
(f)‘ = f‘
(f‘)‘ = f‘‘
(f‘‘)‘ = f‘‘‘
(f‘‘‘)‘ = f(IV)
allgemein:
(f(n-1))‘ = fn
Implizites Differenzieren
y nach Kettenregel !
Beispiel 250d, Buch 7.Klasse:
2x + Öy = 3
Öy = 3 – 2x
y = 9 – 12x + 4x² | nach x differenzieren!
y' = 8x – 12 explizit
2x + Öy = 3
2 + ½y-½ × y‘ = 0 | × 2
4 + × y‘ = 0
y‘ = -4Öy implizit
Probe:
y‘ = -4Öy
y‘ = -4(3 – 2x) siehe oben
y‘ = 8x – 12
warum?
y² + y³ = x | '
2y×y‘ + 3y²×y‘ = 1
y‘ (2y + 3y²) = 1
y‘ = nur implizit differenzierbar!
13) Bilde die 1. Ableitung von
geg.
:
14) Sätze der Differntialrechnung
Stetigkeit und Zwischenwertsatz:[siehe Nr10, Stetigkeit, S31]
Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Ist f in [a;b] stetig und im offenen Intervall ]a;b[ differnziebar,
so besitzt f in ]a;b[ mindesten 1 Stelle mit x mit f‘(x) = [Xi]
Satz von ROLLE
Ist f in [a;b] stetig und im offenen Intervall ]a;b[ differenzierbar,
und gilt f(a) = f(b),
so besitzt f in ]a;b[ mindestens 1 Stelle x mit f‘(g) = 0
Þ es gibt in ]a;b[ mindestens 1 zur x-Achse || Tangente!
Satz von ROLLE ist Spezialfall des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung
15) Kurvenduiskussion
...Ermittlung von Eigenschaften einer Funktion, bevor man die Kurve zeichnetgeg.: y = f(x)
1) Definitionsmenge, Unstetigkeitsfälle (Lücken, Knicke, Sprünge) Df
2) Nullstellen, Fixwerte N, F
3) Asymptoten a
4) Extremwerte (Hochpunkte, Tiefpunkte) E (H, T)
5) Wendepunkte W
6) Wendetangenten tW
7) Monotonie, Krümmung
8) Symmetrieeigenschaften
9) Wertetabelle, Graph
ad 3)
Grenzwerte und Asymptoten
Grenzwerte:
Beispiele:
lim Ö(x² + x + 3) = Ö[lim (x² + x + 3)] = Ö9 = 3
xà2 xà2 à Zahl
lim (a3x³ + a2x² + a1x + a0) = lim a3x³
xॠxॠ|
à¥
=
+ ¥ , wenn a3 > 0
– ¥ , wenn a3 < 0
lim (-2x² + 25x) = lim (-2x²) (1 – ) = – ¥
xॠxà¥
lim = Zahl Þ Asymptote
lim = ± ¥ Þ Polynom hat KEINE Asymptote
Asymptoten:
1) || y-Achse
Kurve nähert sich a
x à Zahl
x = a heißt Asymptote von f,
wenn lim f(x) = ± ¥ xàa
2) y-Achse
x à ¥
a: y = kx + d heißt Asymptote von f, Bwenn lim Pa = 0 xà¥
bzw
lim |f(x) – a(x)| = 0 xà¥
Berechnung von Asymptoten:
Beispiel:
f: y = D = R \ {± 2} ..
. rationale Funktion
1) || y-A
D Þ a1: x = 2
a2: x = -2
2) y-A
lim =
xà¥
= 1
a3: y = 1
Beispiel:
f: y = D = R \ {-1}
1) || y-A
D Þ a1: x = -1
2) y-A
lim =
xà¥
lim =
xà¥
Þ Polynomdivision:
(x² + 0x + 1) : (x + 1) = x – 1
x² + x
-x + 1
-x – 1
2 R
lim [(x – 1) × ] = lim (x – 1) = x – 1
xॠxà¥
a2: y = x – 1
ad 4)
Bestimmung der Extremwerte
H Hochpunkt
T Tiefpunkt
} E Extremwerte
t durch H
t durch T
|| x-Achse (y‘ = 0, y‘‘ ¹ 0)
y' = 0 setzen Þ E
links von T: k<0
à f‘ unterhalb
x-Achse links
rechts von T: k>0
à f‘ oberhalb
x-Achse rechts
links von H: k>0
à f‘ oberhalb
x-Achse links
Rechts von H: k<0
à f‘ unterhalb
x-Achse rechts
T f‘(a) = 0
f‘ ist in U(a) steigend
à f‘‘(a) > 0
H f‘(a) = 0
f‘ ist in U(a) fallend
à f‘‘(a) < 0
E in f‘‘ > 0 Þ T
E in f‘‘ < 0 Þ H
Lokale und absolute Extremwerte:
Lokaler Extremwert: beliebiger Extremwert T1
Absoluter Extremwert: am tiefsten/höchsten gelegener Extremwert T2[Skizze siehe Nr15, S42]
Geometrische Bedeutung der 2. Ableitung:
Krümmung der Kurve
f heißt in U(a) positiv gekrümmt,
wenn die Tangente t unterhalb der Kurve liegt.
y‘‘(a) > 0
f heißt in U(a) negativ gekrümmt,
wenn die Tangente t oberhalb der Kurve liegt.
y‘‘(a) < 0
ad 5), 6)
Wendepunkte und Wendetangenten
W(a|f(a)) heißt Wendepunkt, wenn der Graph von f im Punkt W sein Krümmungsverhalten ändert.
Die Wendetangente durchsetzt die Kurve.
f‘‘(a) = 0
f‘‘‘(a) ¹ 0
Spezialfall:
y' = 0 und y‘‘ = 0 Þ S Sattelpunkt[Skizze siehe Nr15, S42]
y'‘ = 0 setzen Þ W
Wendetangente tW: y = kx +d
ktW = f‘(xW)
d ... W in tW einsetzen
Bedeutung mehrfacher Werte
N(2) = E
N(3) = E(2) = W
Beim Differenzieren wird die Vielfachheit eines Punktes um 1 reduziert.
Monotonie, Krümmung
Monotonie:
wichtig: y‘ H T S a || y-A
x<xH
xH
xH<x< xS
xS
xS<x<a
a || y-A
a<x< xT
xT
xH<x
y'
> 0
0
< 0
0
< 0
/
< 0
0
> 0
beliebigen Wert im angegebenen Intervall einsetzen:
y‘ > 0 Þ streng monoton steigend/wachsend str.m.
w.
y‘ < 0 Þ streng monoton fallend str.m.f.
H und T wechseln einander ab
wachsend und fallend müssen einander nicht abwechseln!
(S, a || y-A)
Krümmung:
wichtig: y‘‘ W S
x<xW
xW
xW<x< xS
xS
xS<x
y'‘
0
0
beliebigen Wert im angegebenen Intervall einsetzen:
y‘‘ < 0 Þ negativ gekrümmt; Tangente verläuft oberhalb von f
y‘‘ = 0 Þ Tangente durchsetzt f (W, tW)
y‘‘ > 0 Þ positiv gekrümmt; Tangente verläuft unterhalb von f
Beispiel 423, Buch 7.Klasse
Der Graph der Funktion f: RàR, y = ax³ + bx² + cx + d hat in 0(0|0) die Steigung 3 und in T(6|0) den Tiefpunkt.
Der Graph der Funktion g: RàR, y = px² + qx + r hat seinen Scheitelpunkt Sg an der Stelle 3 und schneidet den Graphen von f in 0 rechtwinkelig. Diskutiere beide Funktionen und fertige eine Zeichnung an!
f: y = ax³ + bx² + cx + d
y‘ = 3ax² + 2bx + c
f: y(0) = 0 0 = d
y(6) = 0 0 = 216a + 36b + 6c + d
y‘(0) = 3 3 = c
y‘(6) = 0 0 = 108a + 12b + c
Þ a = b = -1 c = 3 d = 0
f: y = x³ – x² + 3x
g: y = px² + qx + r
y‘ = 2px + q
g: y(0) = 0 0 = r
y‘(3) = 0 0 = 6p + q
y‘(0) = - - = q
Þ p = q = - r = 0
g: y = x² – x
Kurvendiskussion:
f: y = x³ – x² + 3x
y‘ = ¼x² – 2x + 3
y‘‘ = ½x – 2
1) D Df = R
2) N, F
x³ – x² + 3x = 0
x(x² – x + 3) = 0
x1 = 0 N1(0|0)
x23 = 6 N2(6|0)(2)
x³ – x² + 3x = x
x(x² – x + 2) = 0
x1 = 0 F1(0|0) = N1
x2 = 6 + Ö12 F2(6+Ö12|6+Ö12)
x3 = 6 – Ö12 F3(6–Ö12|6–Ö12)
3) a weil Polynom Þ $ a
4) E
¼x² – 2x + 3 = 0
x1 = 6
x2 = 2
y‘‘(6) = 1 > 0 Tf(6|0)
y‘‘(2) = -1 < 0 Hf(2|)
5) W
½x – 2 = 0
x = 4 Wf(4|)
6) tW: y = kx + d
y‘(4) = -1
y = -x + d
W: = -4 + d
d =
tW: y = -x +
7) Monotonie
g: y = x² – x
y‘ = x –
y‘‘ =
1) D Dg = R
2) N, F
x² – x = 0
x(x – ) = 0
x1 = 0 N1(0|0)
x2 = 6 N2(6|0)
x² – x = x
x(x – ) = 0
x1 = 0 F1(0|0)
x2 = 24 F2(24|24)
3) a weil Polynom Þ $ a
4) E
x – = 0
x = 3
y‘‘(3) = > 0 Tg(3|-½)
... Scheitel
5) W
= 0 f.A.
Þ $ W
6) tW kein W Þ $ tW
7) Monotonie
H
T
T
x<2
x=2
2<x<6
x=6
x>6
x<3
x=3
x>3
f‘
> 0
0
< 0
0
> 0
g‘
< 0
0
> 0
s.m.w.
s.m.f.
s.m.w.
s.m.f.
s.m.w.
Krümmung
Krümmung
W
x<4
x=4
x>4
x
-¥<x<¥
f‘‘
< 0
0
> 0
g‘‘
> 0
neg. gekr.
pos.
gekr.
pos. gekr.
t oberhalb
t unterhalb
t unterhalb
8) Symmetrieeigenschaften
8) Symmetrieeigenschaften
Symmetrieachse || y-A durch Scheitel
x = 3
9) Graph
16) Diskuttiere
geg.: f: y =
y = x³/[(x-1)²]
y‘ =
y‘‘ =
1) D
(x – 1)² = 0 | Ö
x – 1 = 0
x = 1
Df = R \ {1}
2) N, F
= 0 | ×(x-1)²
x³ = 0
x = 0(3)
N(0|0)(3) à E(2) à W
= x | :x ¹ 0 à x1 = 0 F1(0|0) = N
x² = (x-1)²
x² = x² – 2x + 1
2x = 1
x2 = ½
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