Der goldene schnitt in der geometrie
Der Goldene Schnitt in der Geometrie
Auch in der Geometrie wird das mit der Hilfe des Goldenen Schnittes entdeckte Teilverhältnis für vielerlei Konstruktionen benötigt.
Ich werde hier einige Beispiele für seinen Gebrauch in der Geometrie anführen.
1. Beispiel: Stetige Teilung
Von Euklid wird die stetige Teilung als Aufgabe formuliert:
Teile eine gegebene Strecke so, dass das Rechteck aus der ganzen Strecke und dem einen Abschnitt dem Quadrat über dem anderen Abschnitt gleich ist.
Als Lösung gibt er folgende Konstruktion an:
zeichne ein rechtwinkliges Dreieck CQP mit den Katheten s und
zeichne einen Kreis mit dem Radius um C, welcher die Gerade durch die Punkte P und C in D schneidet
zeichne einen Kreis mit dem Radius um P, welcher in T schneidet
Als Lösung ergibt sich der Abschnitt PT
Abb. 1
Beweis:
Zuerst berechne ich (Hypothenuse des Dreiecks CQP).
Nach Pythagoras gilt: 1. Kathete ² + 2. Kathete ² = Hypothenuse ²
² = ( )² + s²
= s²
= ½ s
Danach berechne ich die gesuchte Größe x = :
= = -
Aus der Zeichnung sieht man, dass =
Also setze ich in diese Gleichung ein
= ½ s - ½ s
= ½ s - ½ s
= ½ s ( - 1)
Also
x/s = ½ ( - 1)
2. Beispiel: Konstruktion eines regelmäßigen Zehnecks
Abb. 2
Bei einem regelmäßigen Zehneck beträgt der Mittelpunktswinkel 36°
Grund: Kreis hat 360°, 360° / 10 = 36°
Das Dreieck ABM (eines der Teildreiecke des Zehnecks) ist also ein gleichschenkliges Dreieck mit Schenkellänge r, Grundseite x und Basiswinkel 72°
Grund: Winkelsumme im Dreieck ist 180°, (180° - 36°) / 2 = 72°
Die Strecke ist die Winkelhalbierende des Basiswinkels bei A, daraus folgt dass die beiden entstandenen Winkel 36° sind.
Das Dreieck ABC ist gleichschenklig, da der Winkel bei C auch 72° ist (180° - 36° - 72°)
Das Dreieck ACM ist gleichschenklig, da die Winkel bei A und M jeweils 36° sind
Weil ABC gleichschenklig ist, ist = , weil ACM gleichschenklig ist, ist = , also ist =
Die Dreiecke ABM und ABC sind ähnlich, weil sie die gleichen Winkel haben
Bei ähnlichen Dreiecken sind die Seitenverhältnisse gleich, also ist
r : x = x : (r - x)
(r : x aus dem Dreieck ABC, x : (r - x) aus dem Dreieck ABM)
Die gesuchte Strecke x ist also der größere Teil von r, wenn man r nach dem goldenen Schnitt teilt.
3. Beispiel: Eigenschaften eines regelmäßigen Fünfecks
Abb. 3
Eigenschaft 1: je zwei Diagonalen, die sich nicht in einer Ecke schneiden, teilen einander im Verhältnis des goldenen Schnitts.
Eigenschaft 2: Seite und Diagonale stehen im Verhältnis des goldenen Schnitts.
Schritt 1: die Winkel im regelmäßigen Fünfeck sind 108°.
Grund: wenn man im Fünfeck den Mittelpunkt mit den Eckpunkten verbindet, erhält man 5 gleichschenklige Dreiecke.
Der Mittelpunktswinkel jedes dieser Dreiecke ist 360° / 5 = 72°. Da Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt, sind die anderen Winkel dieser gleichschenkligen Dreiecke (180° - 72°) / 2 = 54°. Die Winkel im Fünfeck sind also 54° * 2 = 108°.
Schritt 2: und sind parallel
Grund: der Winkel ETC ist 108° (regelmäßiges Fünfeck), also auch sein Gegenwinkel im Dreieck ABT, also ist im Dreieck ABT = (180° - 108°) / 2 = 36°. Da der Winkel des äußeren Fünfecks bei A auch 108° ist, und aus Symmetriegründen wie 36° ist, ist auch beta 36° (108° - 36° - 36° = 36°). Aus Symmetriegründen ist der Winkel bei C dann auch 36°.
Da die Winkel bei A und bei C Stufenwinkel sind, ist parallel zu .
Schritt 3:
nach dem 2. Strahlensatz ist : = : .
Aus Symmetriegründen ist =
= , weil
=
Dreieck ATE ist gleichschenklig, also =
Wenn man EC und in die erste Formel einsetzt, erhält man
: = : , d.h. die Formel des goldenen Schnitts
Damit ist Eigenschaft 1 bewiesen
= (s.
o. in Schritt 3), also stehen Diagonale und Seite ebenfalls im Verhältnis des goldenen Schnitts (alle Diagonalen und alle Seiten sind jeweils gleich). Eigenschaft 2 ist bewiesen.
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