Die untersuchung einer rationalen funktion (kurvendiskussion)
Untersuchen Sie die Funktion f mit F(x) = (x - 1)2 : (x + 2)
1.Maximaler Definitionsbereich
Die Funktion ist an den Nullstellen des Nenners nicht definiert.
x+2 = 0 x = -2
Der maximale Definitionsbereich lautet D = R / _-2_.
2.Vereinfachung des Funktionsterms
Da der Zähler und der Nenner teilerfremd sind, kann man nicht kürzen.
Polynomdivision:
f(x) = x - 4 + 9 : (x + 2 ).
3.Ableitungen
f `(x) = 1 + (-9 * 1) : (x + 2)2 = 1 - 9 : (x + 2)2
f ``(x) = - (0 - 9 * 2 (x + 2) * 1) : ((x + 2)4) = 18 : (x + 2)3
f ```(x) = (0 - 18 * 3 (x + 2)2 * 1) : (x + 2)6 = (- 54) : (x + 2)4
4.Symmetrie
Die Zählerfunktion ist (wie die Nennerfunktion) weder gerade noch ungerade.
Also ist der Funktionsgraf weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch
punktsymmetrisch zum Ursprung.
5.Verhalten in der Nähe der Definitionslücken
Stelle -2:
Für x -2:
x -2 · f(x) -_
Für x -2:
x -2 · f(x) _
Die Funktion besitzt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel von - nach +.
Die Polgerade hat die Gleichung X = -2
6.Verhalten für sehr große x bzw. sehr kleine x
für sehr große x :
x · 9 : (x + 2) 0 , Näherungsfunktion : y = x - 4.
für sehr kleine x:
x - · 9 : (x + 2) 0 , Näherungsfunktion: y= x - 4.
Die Funktion besitzt eine schräge Asymptote mit der Gleichung y = x - 4.
7.
Nullstellen
Für die Nullstellen gilt f(x) = 0
(x -1)2 : (x + 2) = 0 (x - 1)2 = 0 x - 1 = 0 x = 1
1 ist doppelte Nullstelle von f.
8.Extrempunkte
Notwendige Bedingung für Extremstellen : F `(x) = 0
1 - 9 : (x + 2)2 = 0 1 = ) : (x + 2)2 (x + 2)2 = 9
x + 2 = 3 x + 2 = - 3 x = 1 x = - 5
1 und - 5 sind mögliche Extremstellen.
Hinreichende Bedingung für Extremstellen: f `(x) = 0 und F``(x) ungleich 0
f ``(1) = 18: 27 0, also Tiefpunkt
f ``(-5) = - 18 : 27 0 , also Hochpunkt
Koordinaten der Extrempunkte:
f(1) = 0 ; Tiefpunkt T(1|0)
f(-5) = - 36 : 3 = -12 ; Hochpunkt H(-5|-12)
9.Wendepunkte
Notwendige Bedingung für Wendestellen: f``(x) = 0
18 : (x + 2)3 = 0 18 = 0
Die Gleichung besitzt keine Lösung!
Es gibt keine Wendepunkte!
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