Extremwertaufgaben
Lösen einer Extremwertaufgabe
Grundlagen:
1. Die Funktion f sei in einem Intervall I definiert. Der Funktionswert f(x0) heißt lokales Maximum [bzw. Minimum] von f,
wenn es eine Umgebung U(x0) Í I gibt, sodass für alle Werte x aus U(x0) gilt: f(x) £ f(x0) [bzw. f(x) ³ f(x0)].
Gilt f(x) £ f(x0) [bzw.
f(x) ³ f(x0)] sogar für alle x Î I, so nennt man f(x0) globales Maximum [bzw. globales Minimum] von f in I.
2. Satz vom Maximum/Minimum: Ist die Funktion f im abgeschlossenen Intervall [a; b] stetig, so nimmt f im Intervall oder an den Intervallgrenzen einen größten und auch einen kleinsten Wert an (globales Maximum und globales Minimum).
3. Ist f im offenen Intervall ]a; b[ zweimal differenzierbar und gelten an der Stelle x0 Î ]a; b[ die Bedingungen
f '(x0) = 0 und f ''(x0) 0], so ist f(x0) ein lokales Maximum [bzw.
ein lokales Minimum].
4. Vergleich zwischen relativen und absoluten Extremwerten
a; b ... Ränder des Intervalls Ix1; x2; x3; x4 .
.. innere Stellen des Intervalls If(x1); f(x3) ... lokale Minimaf(x2); f(x4) .
.. lokale Maximaf(a) ... Randmaximumf(b) .
.. Randminimumglobales Maximum in I: f(a)globales Minimum in I: f(x1)
Hinweis: Den Nachweis, dass f(x4) ein lokales Maximum ist, kann man mithilfe von Monotoniebetrachtungen führen: An der Stelle x4 wechselt das Monotonieverhalten der Funktion f von monoton steigend zu monoton fallend.
5. Um die Extremwerte einer Funktion f im Intervall I zu ermitteln, untersucht man
(1) alle Stellen, für die f'(x) = 0 gilt, und
(2) alle Stellen, an denen f nicht differenzierbar ist, und
(3) die Randstellen von I.
Lösungsschema für eine Extremwertaufgabe:
1.
Ermitteln einer Zielfunktion
· Ist eine Skizze hilfreich? Welche Stücke sind gegeben?
· Welche Größe soll extremal werden?
· Welche Variable eignet sich für die Zielfunktion?
· Kann man Nebenbedingungen nutzen um die Anzahl der Variablen zu verringern?
· Wie ist der Definitionsbereich zu wählen?
2. Untersuchung der Zielfunktion auf lokale Extremwerte
· Besitzt die Zielfunktion im betrachteten Definitionsbereich lokale Extrema?
3. Ermitteln des gesuchten globalen Extremwertes
· Kommen die Funktionswerte an den Rändern des Definitionsbereiches als globale Extremwerte in Frage?
4. Bezug des Ergebnisses zum Ausgangsproblem herstellen
· Wie kann man das Ergebnis deuten? Ist die Lösung sinnvoll?
· Beantwortung der ursprünglichen Fragestellung.
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