Formeln
Mathematik
Summensätze
sin2(a ) + cos2(a ) = 1
cosh2(a ) - sinh2(a ) = 1
tan(a ) = sin(a )/cos(a )
1 + tan2(a ) = 1/[cos2(a )]
sin(a +b ) = sin(a )·cos(b ) + cos(a )·sin(b )
sin(a -b ) = sin(a )·cos(b ) - cos(a )·sin(b )
sin(2a ) = 2 sin(a )·cos(a )
cos(a +b ) = cos(a )·cos(b ) - sin(a )·sin(b )
cos(a -b ) = cos(a )·cos(b ) + sin(a )·sin(b )
cos(2a ) = cos2(a ) - sin2(a )
tan(a+b) = [tan(a) + tan(b)]/[1 - tan(a)·tan(b)]
tan(a-b) = [tan(a) - tan(b)]/[1 + tan(a)·tan(b)]
sin(a ) + sin(b ) = 2 sin( (a +b )/2 )·cos( (a -b )/2 )
sin(a ) - sin(b ) = 2 cos( (a +b )/2 )·sin( (a -b )/2 )
cos(a ) + cos(b ) = 2 cos( (a +b )/2 )·cos( (a -b )/2 )
cos(a ) - cos(b ) = -2 sin( (a +b )/2 )·sin( (a -b )/2 )
sin2(a ) = [1-cos(2a )]/2; cos2 = [1+ cos(2a )]/2
cosh(x) = (ex + e-x)/2; sinh(x) = (ex - e-x)/2
Sinus-/Cosinussatz
a1 / sin(a) = b1 / sin(b) = c1 / sin(g)
c2 = a2 + b2 - 2 ab cos(g )(Seiten vertauschbar)
Differenzieren
[ k1 + k2· xn ]' = k2· n · xn-1
Ableitung spezieller Funktionen:
[ sin(x) ]' = cos(x)
[ cos(x) ]' = -sin(x)
[ ex ]' = ex
[ ax ]' = ax ln(a)
[ tan(x) ]' = 1/cos2(x) oder: 1 + tan2(x)
[ sinh(x) ]' = cosh(x)
[ cosh(x) ]' = sinh(x)
[ ln(x) ]' = 1/x
[ arctan(x) ]' = 1/(1+x2)
Regeln:
[ f(x)·g(x) ]' = f(x)' g(x) + f(x) g(x)'
[ f(x)/g(x) ]' = {f(x)' g(x) - f(x) g(x)'}/g(x)2
Newton'sche Näherungsmethode
Nullstelle bei Vorzeichenwechsel.
Nächstgenauerer Wert: xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)
Kurvendiskussionen
Nullstellen: f(x) = 0
Extremwerte: f'(x) = 0
f''(x) > 0 -> MIN
f''(x) < 0 -> MAX
Wendepunkte: f''(x) = 0 und f'''(x) ungleich 0
Asymptoten: mit Limesbildung
Integrieren
Grundintegrale
ò 1 dx = x + C
ò xn dx = xn+1/(n+1) + C
ò 1/x dx = ln | x | + C
ò sin(x) dx = -cos(x) + C
ò cos(x) dx = sin(x) + C
ò ex dx = ex + C
ò ax dx = ax/ln(a) + C
ò sinh(x) dx = cosh(x) + C
ò cosh(x) dx = sinh(x) + C
ò sin2(x) dx = [x - ½·sin(2x)]/2 + C
ò 1/cos2(x) dx = ò 1 + tan2(x) dx = tan(x) + C
ò 1/(1+x2) dx = arctan(x) + C
ò ln(x) dx = x ln(x) - x + C
Regeln
ò f(x) ± g(x) dx = ò f(x) dx ± ò g(x) dx
Substituieren
Ist von einer Funktion eine innere Ableitung vorhanden, muß durch diese dividiert werden.
Partielles Integrieren
ò f' · g = f · g - ò f · g'
Uneigentliches ò
Grenzen oder Funktionswert gegen unendlich.
Mit Limesbildung beim Einsetzen.
Matrizen
n x m - Matrix
n..
..... Zeilen
m.
..... Spalten
Assoziativgesetz (a·b)·c = a·(b·c) gilt.
Kommutativgesetz a·b = b·a gilt nicht.
A·B = 0 -> A = 0 und B = 0 gilt nicht.
1 = E = Einheitsmatrix, in der Diagonale l.o.-r.u.
nur "1", sonst "0".
0 = Nullmatrix, nur Nullen.
Tips & Tricks
det(A) = det(AT)
det(A-1) = (det A)-1
Matrix mit einer Zeile/Spalte Nullen hat det(A) = 0.
Matrix mit zwei gleichen Zeilen/Spalten hat det(A) = 0.
Bewegungsmatrizen haben immer det(A) = 1.
Für reine Drehmatrizen (eine/mehrere Drehungen) gilt A-1 = AT.
AS · Aa b g kann man "addieren".
Wichtige Formeln
Geometrie
Oberfläche O
Volumen V
Kugel
4 Pi r²
4/3 Pi r³
Umladefunktion
s(t) = Send - (Send - Sanf) exp(t/tau)
Quadratische Gleichungen
a · x2 + b · x + c = 0
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