Funktionen
Funktionen
Definition:Wird jedem Element einer ersten Menge eindeutig ein Element einer zweiten Menge zugeordnet, so sprechen wir von einer Funktion. Bezeichnungen:
(1)
Funktiongleichung:
f (x) = 2x+5
(2)
Funktionsterm:
2x+5
(3)
Funktionsvorschrift:
f : x 2x+5
1. Menge := Definitionsmenge ;2. Menge := Wertemenge ;Beispiele:
(1) f(x)= m*x*b
Lineare Funktion
(2) f(x)= x2
Quadratische Funktion
(3) f(x)= 5x
Exponentialfunktion
(4) f(x)=
Wurzelfunktion
(5) f(x)= log x
Logarithmusfunktion
(6) f(x)= sin x
Trigonnometrische Funktion
(7) f(x)= x3
Potenzfunktion
(8) f(x)= 1/x
Gebrochene Funktion
Verfahren zum ermitteln der Nullstellen:
(1)
Lineare Funktion
f(x)=2x+1=>0=2x+1<=>-1=2x<=>-0,5=x
Bei linearen Funktionen muss man den Funktionsterm mit 0 gleichsetzen und die Gleichung äquivalent umformen. Schon erhält man die Nullstelle (-0,5|0).
(2)
Quadratische Funktion
f(x)=x2+5x-6=>0=x2+5x-6<=>12,25=x2+5x+6,25<=>12,25=(x+2,5)2<=>3,5=x+2,5 v -3,5=x+2,5<=>1=x v -6=x
Bei quadratischen Funktionen muss man den Funktionsterm mit 0 gleichsetzen und die Gleichung mit der Hilfe der quadratischen Ergänzung oder der pq-Formel lösen.
So erhält man die Nullstellen (1|0) und (-6|0).
(3)
Gleichungen 3. Grades
(I)
f(x)=x3+5x2-6x=>0=x3+5x2-6x<=>0=x*(x2+5x-6)<=>x=0 v x2+5x-6=0
Bei Gleichungen 3. Grades ohne absolutem Glied ist 0 immer eine Lösung. Indem man den Term durch x teilt erhält man eine quadratische Funktion und kann die anderen Nullstellen mit den oben genannten Verfahren lösen. Bei diesem Beispiel sind die Nullstellen (0|0), (1|0) und (-6|0)
(II)
f(x)=x3-2x2+4x-8
Bei Gleichungen 3.
Grades mit absolutem Glied kann man nicht mehr so leicht die Nullstellen bestimmen. Dafür verwendet man Verfahren wie die Polynomdivision oder das Halbierungsverfahren.
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