Gleichungen
Lineare Gleichungssysteme
Üblicherweise wird ein solches Gleichungssystem wie folgt aufgeschrieben:
Ax + Ky = S
Bx + Ly = T
Dabei stehen x und y für die beiden unbekannten Werte, die es zu berechnen gilt; die Grossbuchstaben ändern ihren Wert, je nach den Erfordernissen der Aufgabe. So könnte eine solche Aufgabe etwa so aussehen:
3x - 2y = -8
4x + 6y = -12
Hier wäre also A = 3, K = -2, S = -8...
Es gibt nun 3 verschiedene Verfahren, um diese Gleichung zu lösen:
Gleichsetzungsverfahren
Dieses Verfahren bietet sich an, wenn beide Gleichungen nach y (oder beide nach x) aufgelöst sind, etwa so:
y = -2x + 8
y = 3x - 6
Hier kommt man zu einer Gleichung mit einer Unbekannten, indem man ansetzt:
y=y
-2x + 8 = 3x - 6
Dann wird diese Gleichung nach x auflöst. Den x-Wert setzt man in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein und erhält den dazugehörigen y-Wert.
Einsetzungsverfahren
Auch dieses Verfahren eignet sich in einem besonderen Fall, nämlich dass nur eine der Gleichungen nach y (oder x) aufgelöst ist. In diesem Fall kommt man wie folgt zu einer Gleichung mit einer Unbekannten:
y = -2x + 8
4x + 6y = -12
4x + 6(-2x +8) = -12
Was ist passiert? Du musst einfach die rechte Seite der 1. Gleichung (entspricht dem y) in das y der 2. Gleichung einsetzen. Dann wird die Gleichung nach x aufgelöst und der Wert wieder in eine der beiden Gleichungen eingesetzt um y herauszubekommen.
Additionsverfahren
Sicher das mächtigste der Verfahren, denn es passt für den allgemeinen (normalen) Fall.
Hier wird ein cleveres Rechenschema verwendet, dessen Funktionsweise hier nur an einem Beispiel demonstriert werden soll. Gegeben sei die Aufgabenstellung:
3x - 2y = -8
4x + 6y = -12
Um nur das x zu bekommen muss man das y rauswerfen, dazu multipliziert man die obere Gleichung mit 3, dann steht in beiden Gleichungen eine 6 vor dem y:
3x - 2y = - 8 (*3)
4x + 6y = -12 (unverändert)
9x - 6y = -24 (Spaltenweise untereinander addieren!)
4x + 6y = -12
13x = -36
Nach x auflösen und dann den x-Wert in eine Gleichung einsetzen. Dann erhälst du y.
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