Integralrechnung - flächen zwischen 2 kurven
1. Grundlagen der Integralrechnung
Die Differentialrechnung war ursprünglich aus dem Problem erwachsen, die Tangente in einem beliebigen Punkt einer Funktionskurve zu berechnen. Die Integralrechnung hat ihren historischen Ursprung in der Berechnung von Flächeninhalten; die Größe der Fläche, die durch eine vorgehende Kurve begrenzt wird, sollte erfasst werden.
Das Tangentenproblem der Differentialrechnung und die Berechnung von Flächeninhalten erscheinen auf den ersten Blick als sehr unterschiedliche Aufgabenstellungen. Es hat sich jedoch herausgestellt, dass zwischen den hier zugrunde liegenden Lösungsmethoden enge Beziehungen bestehen. Die folgende Betrachtung soll diese Beziehungen etwas näher erläutern.
In der folgenden Abbildung ist y = f(x) eine vorgegebene Funktion; ihr Graph begrenzt zusammen mit der x-Achse und zwei Randstrecken ein Flächenstück A. Die Berechnung der Flächengröße von A besteht im wesentlichen in der Bestimmung einer Funktion g(x),
für deren Ableitung gilt: g'(x) = f(x).
Durch die zuletzt genannte Problemstellung wird die eigentliche Hauptaufgabe der Intergralrechung gekennzeichnet:
Zu einer vorgegebenen Funktion f(x) ist eine weitere Funktion g(x) zu ermitteln, deren Ableitung g'(x) mit f(x) übereinstimmt.
g'(x) = f(x)
- 2 -
Diese gesuchte Funktion heißt Stammfunktion von f(x). Die Berechnung des Integrals von f(x) bezeichnet man als Integration. Die Integration einer Funktion f(x) ist die Umkehrung der Differentiation; eine zuvor durchgeführte Ableitung einer Funktion kann durch eine anschließende Integration ("Aufleitung") wieder rückgängig gemacht werden.
In der bereits dargestellten Hauptaufgabe ist die vorgegebene Funktion f(x) von allgemeiner Art, also insbesondere unabhängig von dem anfangs betrachteten Flächenproblem.
Es gibt heute sehr viele Anwendungen der Integralrechnung in den innermathematischen Gebieten (z.B. Geometrie). Auch in der modernen Physik und in technischen Wissenschaften ist die Integralrechnung eine unverzichtbare Grundlage geworden.
2.
Flächen zwischen zwei Kurven
2.1. Anschauliches Einführungsbeispiel
(Fläche oberhalb der x-Achse)
Aufgabe: Beim Bau eines Fensters ( siehe Skizze)
soll der obere markierte Teil mit grünem Glas
besetzt werden.
Der obere Bogen des Fensters kann durch die
Funktion f(x) = - 2x²+2x beschrieben werden.
Der Verlauf des unteren Bogens wird durch die
Funktion g(x) = -1/2x²+1/2x beschrieben.
Frage: Wieviel Quadratmeter grünes Glas werden benötigt?
Rechnung:
- 3 -
Antwort: Es werden 0,25 m² grünes Glas benötigt.
2.1.1. Allgemeingültiger Satz für die Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven
Satz: Es seien f und g stetige Funktionen mit f(x) > g(x) für x [a;b]. Dann gilt für den Inhalt A der Fläche zwischen den Schaubildern von f und g über dem Intervall [a;b]:
- 4 -
2.1.
2. Herleitung dieses Satzes
Der 1. Hauptsatz des Integrals besagt:
woraus man auf folgenden Satz schließen kann:
- 5 -
Anwendung dieses Satzes auf das Einführungsbeispiel von 2.1.
Aufgabe: Berechnen sie die Fläche zwischen den Kurven f(x) = -2x²+2x und
g(x) = -1/2x²+1/2x unter der Anwendung des Allgemeingültigen Satzes.
Frage: Wieviel grünes Glas wird benötigt?
Rechnung:
Antwort: Ebenso wie bereits in 2.
1. berechnet, kommt man hier auf das Ergebnis 0,25 m².
2.2. Beispiel für Flächen unterhalb der x-Achse
f(x) = -1/4x²
g(x) = -x
- 6 -
Herleitung:
Aus dieser Rechnung lässt sich schließen, dass der Satz
auch für Flächen unterhalb der x-Achse gilt.
Aufgabe:
a.
)
- 7 -
2.3. Übungsaufgaben
Aufgaben:
Buch Seite 81/2 a, b, c mündliche Besprechung
Lösungen:
a.)
b.)
c.)
Buch Seite 81/4 b.
)
f(x) = x²+1
g(x) = 1/4x²
- 8 -
Buch Seite 81/7 d.)
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