Mathe regel klasse 5+6
Leitsätze der Mathematik
Inhaltsverzeichnis
1 Teilbarkeit der Natürlichen Zahlen
1.1 Teiler und Vielfache einer Zahl
1.2 Teilbarkeitsgesetz (Summe und Produkt)
1.2.1 Summenregel
1.2.
2 Produktregel
1.3 Endstellenregel
1.3.1 Regeln für die letzte Stelle:
1.3.2 Regeln für die zwei letzten Stellen
1.
3.3 Regeln für die drei letzten Stellen
1.4 Quersummenregel
1.5 Primzahlen, Primfaktordarstellungen
1.6 Der größte gemeinsame Teiler (ggT)
1.7 Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)
2 Kreise und Winkel
2.
1 Der Zahlenkreis
2.2 Der Winkelbegriff
3 Brüche
3.1 Allgemein
3.2 Erweitern und kürzen von Brüchen
3.3 Größenvergleich bei Brüchen
3.4 Prozentangaben
3.
5 Rechnen mit Bruchzahlen
3.5.1 Addittion von Brüchen
3.5.2 Subtraktion von Brüchen
3.5.
3 Bruchteile von Bruchteilen
3.5.4 Multiplikation von Brüchen
3.5.5 Division von Brüchen
4 Dezimale
4.1 Definitionen
4.
2 Addieren und Subtrahieren von Dezimalzahlen
4.3 Multiplizieren und Dividieren von Dezimalzahlen
4.3.1 Multiplizieren und Dividieren von Dezimalzahlen mit Zehnerpotenzen
4.3.2 Multiplizieren von Dezimalzahlen
1) Natürliche Zahlen:Die natürlichen Zahlen ergeben sich durch fortlaufende Addition der Zahl 1 zu der Zahl 0: 0, 1 (=0+1), 2 (=1+1), 3 (=2+1) .
.....
2) Ganze ZahlenDie ganzen Zahlen enthalten zusätzlich zu den natürlichen Zahlen die negativen natürlichen Zahlen: -1, -2, -3 .
......
..
3) Rationale ZahlenDie rationalen Zahlen umfassen die ganzen Zahlen und alle Brüche.
4) Dezimalzahl oder KommazahlDezimale heißen die Ziffern hinter dem Komma.Bei der Dezimalschreibweise bedeutet die 1. (2.
, 3., .....
...) Stelle hinter dem Komma Zehntel (Hunderstel, Tausendstel,...
...).Dezimalzahl oder Kommazahl heißt ein Bruch in Dezimalschreibweise.
1 Teilbarkeit der Natürlichen Zahlen
1.
1 Teiler und Vielfache einer Zahl
Alle Teiler einer Zahl bilden eine Teilermenge. Bsp.: Teilmenge von 50 {1,2,5,10,25,50} = T50
Alle Vielfachen einer Zahl bilden eine Vielfachenmenge. Bsp.: Vielfachenmenge von 50 {50,100,150..
....} = V50
1.2 Teilbarkeitsgesetz (Summe und Produkt)
1.
2.1 Summenregel
Haben 2 Zahlen den selben Teiler, so hat auch die Summe und die Differenz der Zahlen diesen Teiler Bsp.: 36 / 720 und 36 / 144, also gilt 36 / (720+144) = 36 / 864 und 36 / (720-144) = 36 / 576
1.2.2 Produktregel
Ist bei einem Produkt mindestens ein Faktor durch eine bestimmte Zahl teilbar, so ist auch das Produkt durch diese Zahl teilbar. Bsp.
: 6 / 13 x 42, da 6 / 42
1.3 Endstellenregel
1.3.1 Regeln für die letzte Stelle:
· Endet eine Zahl auf 0, so ist diese Zahl durch 10, 5, 2 teilbar.
· Endet eine Zahl auf 5, so ist diese Zahl durch 5 teilbar.
· Endet eine Zahl auf 2, 4,6,8, (0), so ist diese Zahl durch 2 teilbar.
1.3.2 Regeln für die zwei letzten Stellen
· Endet eine Zahl auf 00, so ist die Zahl durch 100, 25, 20, 4 teilbar.
· Eine Zahl ist durch 4 oder 25 teilbar, wenn die aus den beiden letzten Ziffern gebildete Zahl durch 4 oder 25 teilbar ist.
1.3.
3 Regeln für die drei letzten Stellen
· Endet eine Zahl auf 000, so ist diese Zahl durch 1000, 125, 8 teilbar.
· Eine Zahl ist durch 8 oder 125 teilbar, wenn die aus den drei letzten Ziffern gebildete Zahl durch 8 oder 125 teilbar ist. Bsp.: 8 / 36144, da 8 / 144
1.4 Quersummenregel
Quersumme einer Zahl = Summe aller Ziffern. Bsp.
: 168 hat die Quersumme 1+6+8=15
Eine Zahl ist teilbar durch 3 bzw. 9 wenn die Quersumme durch 3 bzw. 9 teilbar ist. Bsp.: 3 / 17385 da 3 / 24 (24=Quersumme); 9 teilt nicht 24
1.5 Primzahlen, Primfaktordarstellungen
Eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler besitzt, nämlich die Zahl 1 und sich selbst, heißt Primzahl.
Primzahlen kann man nicht als Produkt von kleineren Zahlen schreiben.
Bestimmung von Primzahlen mit dem Sieb des Eratostenes
· streiche alle Vielfachen von 2 außer 2
· streiche alle Vielfachen von 3 außer 3
· streiche alle Vielfachen von 5 außer 5
· streiche alle Vielfachen von 7 außer 7
Jede natürliche Zahl (größer als 1) ist entweder eine Primzahl oder lässt sich aus Primzahlen durch Multiplikation herstellen. Das Produkt nennt man Primfaktordarstellung der Zahl. Die Primfaktoren sind eindeutig bestimmt. Bsp.: 58 = 2 x 29.
Ist eine natürliche Zahl keine Primzahl, so gibt es für diese Zahl nur eine Primfaktordarstellung.
1.6 Der größte gemeinsame Teiler (ggT)
Bildet man die Teilermenge zweier Zahlen und ihre Schnittmenge, so ist die Schnittmenge wieder eine Teilermenge und zwar die Teilermenge des größten gemeinsamen Teilers (ggT). Bsp.: T56 = {1, 56, 2, 28, 4, 14, 7, 8} T84 = {1, 84, 2, 42, 3, 28, 4, 21, 7, 12, 6, 14} T56 Ç T84 = {1, 2, 4, 7, 14, 28} ggT = 28
Man erhält den ggT indem man die gemeinsamen Primfaktoren aufschreibt und miteinander multipliziert. Bsp.
: 56 = 2 x 2 x 2 x 7 84 = 2 x 2 x 3 x 7 ggT = 2 x 2 x 7 = 28
Zahlen heißen teilerfremd, wenn ihr ggT 1 ist. Bsp.: 35 und 105 sind nicht teilfremd (ggT = 35) 35 und 39 sind teilerfremd.
1.7 Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)
Die gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen bilden wieder eine Vielfachenmenge, nämlich die Vielfachenmenge des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV).
Man erhält das kgV zweier Zahlen, indem man von der ersten Zahl eine Primfaktordarstellung aufschreibt und sie mit den zusätzlichen Primfaktoren der zweiten Zahl multipliziert.
Bsp.: 24 = 2 x 2 x 2 x 3 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 kgV = (2 x 2 x 2 x 2 x 2) x 3 = 96 ggT = 2 x 2 x 2 = 8
2 Kreise und Winkel
2.1 Der Zahlenkreis
Eine kreisförmige Skala, auf der Zahlen in gleichen Abständen abgetragen sind, heißt Zahlenkreis. Dreht sich ein Zeiger in einem Zahlenkreis von 360 Grad um einen Strich nach rechts, so hat er sich um ein Grad gedreht. Weitere Einteilungen: 1° (Grad) = 60´(Minuten); 1´ (Minute) = 60´´(Sekunden)
2.2 Der Winkelbegriff
Dreht man eine Halbgerade (die von einem Knickpunkt ausgehende gerade Linie) um einen Punkt S bis zu einer zweiten Halbgeraden, so entsteht ein Winkel.
Der Winkel besteht aus allen Punkten auf und zwischen den beiden Halbgeraden. Die beiden Halbgeraden heißen Schenkel. Der Punkt S heißt Scheitel des Winkels.
A
Schenkel h
h
Ð gh
Ð ASDBei einem Winkel nennen wir denjenigen Schenkel, der bei einer Drehung gegen den Uhrzeigersinn um den Scheitel den Winkel überstreicht, den ersten Schenkel; der andere Schenkel heißt zweiter Schenkel. Der mittlere Buchstabe bezeichnet immer den Scheitel des Winkels.
Schenkel g
D
S
3 Brüche
3.
1 Allgemein
Bei einem Bruch steht oberhalb des Bruchstriches der Zähler und unterhalb des Bruchstriches der Nenner.
Brüche, bei denen der Zähler größer ist als der Nenner, heißen unechte Brüche.Unechte Brüche lassen sich als gemischte Zahlen darstellen. Bsp.:
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