Pythagoras
PYTHAGORAS 1. DENKWEISEN GROßER MATHEMATIKER: Ein Weg zur Geschichte Der MathematikAutor: MESCHKOWSKI Herbert2. GESCHICHTE DER MATHEMATIKAutoren: KAISER - NÖBAUER3. SCHÜLERDUDEN Die Mathematik 14. BROCKHAUS5. Neue ENZYKLOPÄDIE des WISSENS6.
DEM UNENDLICHEM AUF DER SPURAutor: MAOR Eli7. DAS UNENDLICHE Autor: TASCHNER Rudolf
Pythagoras von Samos:
Er war ein griechischer Philosoph und ist um 570 oder 580 v. Chr. in Samos geboren - das genaue Geburtsdatum weiß man nicht so genau. Das liegt zum Teil daran, dass man kaum Dokumente aus jener Zeit erhalten sind, ein anderer Grund ist aber auch, dass die Pythagoreer einen geheimen Orden bildeten, dessen Mitglieder sich einer strengen Gemeinschaftsordnung unterwarfen.Aus Protest gegen die politischen Verhältnisse in seiner Heimat verließ er diese.
Er bereiste Kleinasien, Ägypten, Mesopotamien, lernte vom großen Thales von Milet Mathematik und Astronomie und studierte eingehend astrologische und religiöse Mythen, die in dem von ihm besuchten Regionen vorherrschend waren.Uns Heutigen gilt Pythagoras als Mathematiker. Doch seine Zeitgenossen charakterisierten ihn meist anders: Herodotos sah in ihm einen „bedeutenden Sophisten“. Andere kennen ihn als den Gründer eines religiösen Ordens, von dem mancherlei Wundergeschichten erzählt wurden. Die Komödiendichter stellten die Jünger des Pythagoras als arme und schmutzige Vegetarier dar und erwähnten nichts von ihren mathematischen Leistungen.Über das Leben des Pythagoras ist nur wenig bekannt.
Tatsache ist wohl, dass er in jungen Jahren eine Studienreise nach Ägypten unternahm. Vielleicht war er auch in Babylon; der Zusammenhang der pythagoräischen Arithmetik mit der babylonischen legt jedenfalls eine solche Vermutung nahe. Um 530 floh er vor dem Diktator Polykrates nach Oberitalien (Kroton). Dort soll er einen Kreis begeisterter Jünger um sich gesammelt haben. Er predigte ihnen die Unsterblichkeit der Seele, forderte eine Lebensführung der Enthaltsamkeit und Mäßigung und lehrte Astronomie, Mathematik, Musikwissenschaft und Philosophie. In Oberitalien gründete er dann eine religiöse Brüderschaft ---- die PYTHAGOREER , mit strengen Regeln für die Lebensführung und das Studium.
Wie später die Templer, Rosenkreuzer oder Freimaurer erlangte der Verein der Pythagoreer immer mehr politischen Einfluß und wurde dementsprechend immer heftiger von seinen Gegnern angefeindet. Die Rivalen siegten: es kam zur Vertreibung der Pythagoreer aus Kroton, und Pythagoras führte den Rest seiner Anhänger ins süditalienische Metapont, wo er um 480 v. Chr. verstorben sein soll.Erst bei den Griechen ist aus der praktischen Meß - und Rechenkunst und dem mystischen Zahlenspiel jene streng beweisende Wissenschaft gewachsen, die wir heute als Mathematik bezeichnen. Vielen modernen Menschen wird die im Orden der Pythagoreer gelebte enge Verbindung religiös - sittlicher Postulate mit Aussagen der exakten Forschung befremdlich erscheinen.
Für die Pythagoreer war diese Einheit Grundlage ihrer Weltsicht, in der die Mathematik ein Teil der Religion war. Nach ihrer Lehre ist Gott der Eine, und die Vielheit der Welt wird durchschaubar durch die Gesetzte der Zahl. Das war die große Entdeckung der Pythagoreer: Das die Bahnen der Sterne, aber auch die Gesetzte der musikalischen Harmonie und der architektonischen Schönheit bestimmt waren und durch einfache Verhältnisse ganzer Zahlen: „Die ganze Welt ist Harmonie und Zahl“. (ganze Zahlen = es ist zu beachten, dass in der griechischen Mathematik die Irrationalzahlen unbekannt waren. „Zahlenverhältnisse“ sind immer Verhältnisse ganzer Zahlen)Von Pythagoras selbst ist keine Zeile überliefert. Man kann daher nicht mit Sicherheit feststellen, welche Erkenntnis vom „Meister“ selbst, welche von seinen Schülern stammt.
Bei der großen Verehrung für den „Wundertäter“ Pythagoras ist es durchaus möglich, dass ihm spätere Generationen auch solche Leistungen zuschrieben, die tatsächlich Erfolge seiner Schüler sind.
Der Satz von Pythagoras
Dieser Satz hat bei jedem Mathematiker seinen festen Platz.Er besagt, dass:
Das Quadrat über der Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks ist flächengleich der Summe der Quadrate über den Katheten.
Das von der Hypotenuse c gebildete Quadrat hat denselben Flächeninhalt wie die Flächeninhalte der beiden von den Katheten a und b gebildeten Quadrate zusammen. Er zählt wegen seiner großen Bedeutung für Berechnungen und Beweisführung in der Elementargeometrie mit Recht zu den berühmtesten Lehrsätzen der Planimetrie.Der Satz von Pythagoras hat viele an der Mathematik interessierte Geister fasziniert.
Immer wieder tauchen neue Beweise dieses Satzes auf. Manche Beweise stammen von berühmten Persönlichkeiten aus der Mathematikgeschichte, aber auch aus der Kunst und der Politik. Viele Beweise aber wurden auch von Schülern selbständig entdeckt.
Satz des Pythagoras | a^2 + b^2 = c^2 | c Hypothenuse; a, b Katheten
Für den Satz sind mehr als 100 Beweise bekannt, von denen einer der kürzesten wohl der folgende Zerlegungsbeweis ist. Aus der Abbildung (selbst gezeichnet - ganz normal) kann man unmittelbar erkennen, dass die gesamte Quadratfläche (a+b)^2 sich zusammensetzt aus der gelben Quadratfläche c^2 und den vier roten Dreieckflächen 4. ((a+b)/2) = 2 a b , d.
h. a^2 + 2 a b + b^2 = c^2 + 2 a bund hieraus ergibt sich dann a^2 + b^2 = c^2.
(Versuch Seilspannen)Der Faden umspannt ein rechtwinkeliges Dreieck, dessen Seiten 3 cm, 4 cm und 5 cm lang sind.Mit diesem Versuch habe ich die uralte Methode des Seilspannens nachgeahmt, das die Ägypter und Inder schon vor tausenden Jahren vornahmen, um einen rechten Winkel zu erhalten. Während bei den Ägyptern die Seilschlinge Knoten in aufeinanderfolgenden Abständen von 3, 4 und 5 Teil enthielt, verwendeten die Inder eine solche, mit der sie ein rechtwinkeliges Dreieck mit den Seiten 5, 12 und 13 abstecken konnten.
Der Weg zu den „pythagoräischen Zahlen“:Die Pythagoreer veranschaulichten sich die Zahlen an Gruppen von Punkten, die man mit Sternbildern vergleichen könnte.
An solchen „Punktrastern“ kann man bemerkenswerte zahlentheoretische Gesetze ablesen. So zeigt uns das dargestellte Punktchema die „Dreieckszahlen“ : In den Zeilen des Dreiecks befinden sich 1, 2, 3, 4,.....
. Punkte, und die Anzahl der Punkte in einem n - zeiligen Dreieck stellt die Summe der ersten n natürlichen Zahlen dar. So ist z.B. 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + 3 + 4 = 10,..
.....Auf diese Weise gewinnen die Pythagoreer die bekannte Folge der Dreieckszahlen: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,.
....(Punktzeichnung am Plakat)
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