Quadratische gleichung
Quadratische Gleichungen sind Gleichungen der Form d = ax2 + bx + c.
Sie lassen sich durch relativ einfache Umformungen auf die Schreibform 0= x2 + px + q bringen. Es kann für die Gleichung keine, eine oder zwei Lösungen geben.
Neben der p-q-Formel gibt es noch die Möglichkeit
- die Lösungen zu raten (vornehmer: durch Anwendung des Satzes von Vieta) - oder im Falle, dass q = 0 ist (also gar nicht erst auftritt), das x auszuklammern und dadurch den Term zu faktorisieren.
Für quadratische Gleichungen der Form 0= x2 + px + q gibt es die p-q-Formel als Lösungsformel. Sie lautet:
x1 = -p/2 - wurzel( (p/2)2 - q)
bzw.
x2 = -p/2 + wurzel( (p/2)2 - q)
Satz von Vieta
Multipliziert man spasseshalber einige Produkte der Form (x + a)(x + b) aus, so stellt man bald eine Gesetzmässigkeit fest - das hat auch Herr Vieta, franz. Mathematiker (1540 - 1603) und der hat sie aufgeschrieben, die Gesetzmässigkeit. Hier wird sie an nur Zahlenbeispielen verdeutlicht:
(x - 5)(x + 2) = x2 + 2x - 5x -10 = x2 - 3x -10 - -5 * 2 = -10 und -5 + 2 = -3
oder
(x + 7)(x - 1) = x2 - 1x + 7x - 7 = x2 + 6x - 7 - 7 *(-1) = -7 und 7 + (-1) = 6
oder
(x + 2)(x + 9) = x2 + 9x + 2x + 18 = x2 + 11x + 18 - 2 * 9 = 18 und 2 + 9 = 11
und nun abstrakter:
(x + a)(x + b) = x2 + bx + ax + ab = x2 + (a + b)x + ab
Spezialfall - q=0
Im Spezialfall, dass q = 0 ist, mit anderen Worten 0= x2 + px, kann man eine Faktorisierung durch ausklammern von x erreichen. Damit hat man gewonnen, wie das folgende Beispiel zeigt:
0= x2 + 9x
wird zu:
0= (x + 9) * x
und hat die Lösungen:
x1 = -9 und x2 = 0
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