Eine eindeutige abbildung einer menge x auf eine menge y heißt
Eine eindeutige Abbildung einer Menge X auf eine Menge Y heißt
FUNKTION
Die Menge X heißt Definitionsbereich der Funktion f [D(f)], ihre Elemente werden Argumente genannt.
Die Menge Y heißt Wertebereich der Funktion f [W(f)], ihre Elemente werden Funktionswerte genannt.
Eine Funktion ist demnach eine Menge geordneter Paare (x;y), wobei jedem Argument xÎD(f) genau ein Funktionswert yÎW(f) zugeordnet wird.
Die Zuordnung eines Funktionswertes y zu dem Argument xÎD(f) wird bei der Funktion f durch
f: x®y = f(x) x®D(f)
oder kurz: y = f(x) x®D(f)
ausgedrückt.
(1) Häufigste Art der Angabe einer Zuordnungsvorschrift für eine Funktion ist eine Funktionsgleichung und die Angabe des Definitionsbereichs.
Zusammenhang zwischen Funktion und Gleichung
Funktionen
Es gibt Funktionen, deren Zuordnungsvorschrift durch eine Gleichung mit zwei Variablen angegeben werden kann.
Es gibt aber auch Funktionen, deren Zuordnungsvorschrift durch Wertetabellen, Graphen, oder auch “Wortvorschriften“ gegeben ist.Gleichungen
Es gibt Gleichungen, die als Zuordnungsvorschrift für Funktionen aufgefaßt werden können (z.B. lineare Gleichungen mit zwei Variablen). Es gibt aber auch Gleichungen, die nicht als Zuordnungsvorschrift für Funktionen aufgefaßt werden können. (z.
B. sind x = 5 oder x² + y² = 16 keine eindeutigen Zuordnungsvorschriften)
Für Funktionen, die durch eine Gleichung und die Angabe des Definitionsbereichs beschrieben sind, ist die Menge der geordneten Paare, die die Funktion darstellt, genau die Lösungsmenge der Gleichung (mit zwei Variablen).
(2) Funktionen können in einem ebenen kartesischen Koordinatensystem (Rene Descartes, 1596 bis 1650) grafisch dargestellt und damit veranschaulicht werden.
Da eine Funktion eine Menge geordneter Zahlenpaare ist, und da jedem geordneten Zahlenpaar (x;y)Îf im kartesischen Koordinatensystem eindeutig ein Punkt P(x/y) der Ebene zugeordnet werden kann, kann eine Funktion durch eine eindeutig bestimmte Punktmenge veranschaulicht werden, die Graph der Funktion (Funktionskurve) genannt wird.
(3)Ein Element xN des Definitionsbereiches einer Funktion f heißt Nullstelle der Funktion, wenn f(xN)=0 ist.
Zur Ermittlung der Nullstellen einer Funktion ist die Gleichung f(x)=0 zu lösen, d.
h. die Nullstellen der Funktion f sind alle reellen Lösungen der Gleichung f(x)=0.
Einfache Nullstellen können als Abszisse der Schnittpunkte, zweifache Nullstellen als Abszisse der Berührungspunkte des Graphen der Funktion mit der x-Achse veranschaulicht werden.
(4) Eine Funktion f heißt konstant, wenn es ein Element c mit f(x)=c für alle xÎD(f) gibt.
(5) Eine Funktion, deren Definitonsbereich D(f) die Menge N (nat. Zahlen) ist, heißt Folge.
Sie wird eine reelle Zahlenfolge genannt, wenn der Wertebereich W(f) eine Teilmenge von R (reelle Zahlen) ist. Jedes Element des Wertebereichs heißt Glied der Folge.
(6) Eine Funktion f mit D(f)ÍR und W(f)ÍR heißt reelle Funktion.
Einteilung der reellen Funktionen
(1) Übersicht:Reelle Funktionen
ÚÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ¿
elementare Funktionen nichtelementare FunktionenÚÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ¿
transzendente Funktionen algebraische FunktionenÚÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ¿
rationale Funktionen irrrationale FunktionenÚÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ¿
ganzrationale Funktionen gebrochenrationale Funktionen
(2) Eine reelle Funktion f heißt elementar, wenn sie sich mit Hilfe endlich vieler Verknüpfungen u±v, u.v, u:v, u°v aus Potzenz-, Exponential- Winkelfunktionen und deren Umkehrfunktionen in Form einer Gleichung darstellen läßt. Andernfalls heißt sie nichtelementar.
(z.B. f(x) = ½x ½ " xÎR ist nichtelementar)
(3) Eine elementare Funktion algebraisch, wenn die Zuordnungsvorschrift durch eine Gleichung gegeben ist, in der mit den Variablen in den Termen nur algebraische Operationen, Potenzieren und Radizieren ausgeführt werden.
[Einschränkungen: Divisor ¹0, Potenz- und Wurzelexponent ÎN, Radikant ÏR-]
Nichtalgebraische elementare Funktionen heißen transzendent. (z.B.
Exponential-, Logarithmus- und Winkelfunktionen)
(4) Eine algebraische Funktion heißt rational, wenn die Zuordnungsvorschrift durch eine Gleichung gegeben ist, in der mit den Variablen endlich viele rationale Rechenoperationen
(+,-,.,: (Divisor ¹ 0)) ausgeführt werden.
Nichtrationale algebraische Funktionen heißen irrational. (z.B. Wurzelfunktionen)
(5) Eine rationale Funktion heißt ganzrational, wenn sie sich in der Form
u(x) = anxn + an-1xn-1 + .
.. + a1x + a0 = aixi (i,n ÎN und aiÎR)
darstellen läßt.
Eine gebrochenrationale Funktion f(x) läßt sich als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen u(x), v(x) darstellen.
mit v(x)¹0
Allgemeine Eigenschaften reeller Funktionen
Umkehrfunktion
Da jede Funktion eine eindeutige Abbildung ist, gibt es zu jeder Funktion eine Umkehrabbildung (inverse Abbildung), die nicht unbedingt auch eine Funktion sein muß. Ist jedoch die Umkehrabbildung eine eindeutige Abbildung, also eine Funktion, so heißt sie Umkehrfunktion (inverse Funktion) zur Funktion f und wird mit f -1 bezeichnet.
Eine Funktion, die eine Umkehrfunktion besitzt, heißt umkehrbare Funktion. Sie ist eine eineindeutige Funktion. Die Funktionen f und f -1 sind zueinander invers:
f
f -1
Zuordnungsvorschrift
y = f(x)
x = f -1(y)
Definitionsbereich
X
Y
Wertebereich
Y
X
geordnete Paare
(x;y)
(y;x)
In ein und demselben Koordinatensystem werden zwei zueinander inverse Funktionen y = f(x) und
x = f -1(y) durch denselben Graphen dargestellt, nur Definitionsbereich und Wertebereich sind gegeneinander vertauscht. Werden jedoch die Variablen in der Funktionsgleichung der Umkehrfunktion x = f -1(y) nachträglich vertauscht [also y = f -1(x)], dann ist der Graph der Funktion f -1 das an der 1. Mediane gespigelte Bild der Funktion f.
Jede streng monotone Funktion besitzt eine Umkehrfunktion.
Die Umkehrfunktion einer streng monoton wachsenden (fallenden) Funktion ist wieder eine streng monoton wachsenden (fallenden) Funktion, d.h., die Eigenschaften der strengen Monotonie von f überträgt sich wegen der Eindeutigkeit von f auf die Umkehrfunktion f -1.
Monotonie
Wenn für eine reelle Funktion f für alle x1<x2 aus einem Intervall gilt:
f(x1) £ f(x2) ½ f(x1) ³ f(x2)
so heißt die Funktion in diesem Intervall
monoton wachsend ½ monoton fallend
Wird f(x1) = f(x2) ausgeschlossen, gilt also die strenge Bedingung
f(x1) < f(x2) ½ f(x1) > f(x2)
so heißt die Funktion in diesem Intervall
streng monoton wachsend ½ streng monoton fallend
Beschränktheit
Eine reelle Funktion f mit y=f(x) heißt in einem Intervall
nach unten beschränkt, ½ nach oben beschränkt,
wenn es eine reelle Zahl ku bzw. ko gibt, so daß für alle x aus diesem Intervall gilt
f(x) ³ ku. ½ f(x) £ ko.
Dann heißt für diese Funktion in diesem Intervall
ku eine untere Schranke. ½ ko eine obere Schranke.
Dann gilt auch, daß jedes
ku’ < ku eine untere Schranke ½ ko’> ko eine obere Schranke
ist.
Unter diesen Schranken heißt die
größte die untere Grenze Gu ½ kleinste die obere Grenze Go
Besitzt eine reelle Funktion f in einem Intervall sowohl eine untere Schranke ku als auch eine obere Schranke ko, gilt also ku £ f(x) £ ko für alle x aus diesem Intervall, so heißt die Funktion beschränkt in diesem Intervall.
Symmetrieeigenschaften
(Gerade und ungerade Funktionen)
Eine reelle Funktion f mit y=f(x) heißt
gerade, ½ ungerade,
wenn für alle xÎD(f) mit D(f)=R gilt
f(-x) = f(x). ½ f(-x) = -f(x).
Zu jedem Punkt auf dem Graphen der Funktion f existiert dann ein zweiter Punkt, der
achsensymmetrisch zur y-Achse ½ zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung
liegt, so daß für den Graph der Funktion
die y-Achse die Symmetrieachse½ der Koordinatenursprung das Symmetriezentrum
ist.
Periodische Funktionen
Wenn es zu einer reelle Funktion f eine reelle Zahl p>0 gibt, so daß für alle xÎD(f) gilt: f(x) = f(x+p), so heißt die Funktion periodisch und p eine Periode von f. Gibt es dabei eine kleinste Zahl p>0,die die Bedingung f(x) = f(x+p) für alle xÎD(f) erfüllt, so heißt p die primitve (oder kleinste) Periode von f.
BEISPIEL:
Die Funktion f(x)=sinx ist eine Priodische Funktion, denn es gilt für alle xÎD(f): sinx=sin(x+k.2p) mit kÎZ. Die primitive Periode ist p=2p.
Rationale Funktionen
Durch Anwendung endlich vieler rationalen Rechenoperationen Addition, Subtraktion und Multiplikation auf das Argument x entsteht ein Term der Form
a0 + a1x + a2x2 + ... + an-1xn-1 + anxn mit an¹0,
Polynom n-ten Grades in x genannt, dem umkehrbar eindeutig eine Funktion f zugeornet werden kann, so daß für alle xÎR gilt:
f(x) = anxn + an-1xn-1 + ...
+ a1x + a0 = aixi mit i,n ÎN, aiÎR und an¹0.
Diese Funktion heißt ganzrationale Funktion, wobei n Grad und ai Koeffizienten der Funktion f genannt werden.
[Jede konstante Funktion f(x)=c (cÎR) ist eine ganzrationale Funktion 0-ten Grades,]
Jede ganzrationale Funktion ist stetig.
Jede ganzrationale Funktion n-ten Grades hat n Nullstellen, die nicht alle reell zu sein brauchen und von denen einige auch mehrfache Nullstellen sein können. In mehrfache Nullstellen berührt der Graph der Funktion die x-Achse.
Ist der Grad n ungerade, so ist die Funktion unbeschränkt und hat mindestens eine Nullstelle.
Ist n gerade, so ist die Funktion einseitig beschränkt. Sie hat entweder keine reelle Nullstelle oder eine gerade Anzahl von Nullstellen.
Hat eine ganzrationale Funktion genau n reelle Nullstellen x1, x2, ....
xn, so kann sie als Produkt von n Linearfaktoren dargestellt werden:
f(x) = an.(x-x1).(x-x2). ...
. .(x-xn)
Eine Funktion heißt rationale (gebrochenrationale) Funktion, wenn sie als Quotient zweier ganzrationale Funktion u(x) und v(x) dargestellt werden kann, so daß gilt:
mit v(x)¹0.
Die Funktion f mit f(x) = ist für m=0 eine ganzrationale Funktion.
Ist m>n, dann heißt f: echt gebrochen
Ist dies nicht der Fall, kann die Funktion f (nach dem Verfahren der Division eines Polynoms durch ein Polynom) als Summe einer ganzrationalen und einer echt gebrochen Funktion dargestellt werden.
Ganzrationale Funktionen:
(1) Funktionen mit einer Gleichung der Form f(x)=xn sind für nÎN ganzrationale Funktionen und heißen Potenzfunktionen.
Die Graphen der Potenzfunktionen y=f(x)=xn (xÎR, nÎN) heißen Parabeln n-ten Grades.
Gerade Potenzfunktionen ½ Ungerade Potenzfunktionen
y=f(x)=xn=x2m (m=1,2,3...) ½ y=f(x)=xn=x2m-1 (m=1,2,3..
.)
½ m=1: y=x.....
.1. MedianeGemeinsame Eigenschaften der Kurvenscharen Wertebereich: 0£ y<+¥ ½ Wertebereich: -¥<y<+¥
nach unten beschränkt ½ unbeschränkt
achsensymmetrisch zur y-Achse ½ zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung
streng monoton fallend für x£0 ½ streng monoton wachsend für alle xÎR
streng monoton wachsend für x³0 ½
Verlauf im 2. ind 1. Quadranten ½ Verlauf im 3. ind 1.
QuadrantenGemeinsame Punkte aller Graphen P0(0/0); P1(1/1); P2(-1/1) ½ P0(0/0); P1(1/1); P2(-1/-1)
(Mehrfache) Nullstellen haben alle Funktionen im Ursprung.
(2) Funktionen mit einer Gleichung der Form f(x)=a1x+a0 (a1,a0ÎR; a1¹0) [meist: y=kx+d], also Funktionen 1-ten Grades, heißen lineare Funktionen. Der Koeffizient a1 heißt Anstieg. Es gilt a1=tanj, wenn j die Größe des Winkels zwischen dem Graphen der linearen Funktion und der positiven Richtung der x-Achse ist.
Die Graphen linearer Funktionen sind Geraden.
Die lineare Funktion ist nicht beschränkt.
Der Graph einer linearen Funktion f(x)=a1x+a0 geht aus dem Graphen der Funktion f0(x) =a1x durch Verschiebung um a0 in Richtung der positiven (a0>0) bzw. negativen (a0<0) y-Achse hervor.
Die Nullstelle einer linearen Funktion f(x)=a1x+a0 wird als Lösung der linearen Gleichung a1x+a0=0 ermittelt:
(3) Funktionen mit einer Gleichung der Form f(x)=a2x2 + a1x + a0 (a2,a1,a0ÎR; a2¹0), also Funktionen 2-ten Grades, heißen quadratische Funktionen. Man nennt a2x2 das quadratische Glied, a1x das lineare Glied und a0 das absolute Glied der quadratische Funktion. Die Graphen quadratischer Funktionen sind Parabeln (2-ten Grades).
Durch den Koeffizienten a2>0 wird der Graph der Funktion y= a2x2 gegenüber dem Graph der Potenzfunktion y=x2 einer Streckung in Richtung der positiven y-Achse unterworfen.
Ist a2>1 (a2<1), wird der Graph gegenüber dem Graph von y=x2 gedehnt (gestaucht). Û Die Parabeln sind nach oben geöffnet.
Ist der Koeffizienten a2<0, erfolgt eine Streckung in Richtung der negativen y-Achse und eine Spiegelung an der x-Achse. Û Die Parabeln sind nach unten geöffnet.
Die quadratische Funktion ist nach unten (a2>0) oder nach oben (a2<0) beschränkt. Die untere bzw obere Grenze nennt man Scheitel der Parabel.
Der Scheitel stellt ein relatives Extremum der Funktion dar, d.h. die Tangente in diesem Punkt an den Graphen der Parabel ist parallel zur x-Achse.
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion f(x)=a2x2 + a1x+a0 werden als Lösungen (x1;x2) der quadratischen Gleichung a2x2 + a1x+a0=0 ermittelt:
Der Term wird als Diskriminante D bezeichnet.
Ist D>0, so existieren zwei reelle Nullstellen, d.h.
der Graph der Parabel schneidet in den beiden Punkten N1(x1/0) und N2(x2/0) die x-Achse.
Ist D=0, so existiert nur eine (zweiwertige) Nullstelle, d.h. x1=x2 (N1=N2=N) und der Graph der Parabel berührt in N die x-Achse (der Scheitel der Parabel liegt in N).
Ist D<0, so existieren keine Nullstellen, d.h.
der Graph der Parabel liegt zur Gänze über oder zur Gänze unter der x-Achse.
Der Scheitel S(xS/yS) der Parabel wird durch Ermitteln des relativen Extremums (Anstieg=0) bestimmt:
Gebrochenrationale Funktionen:
Eine Funktion f heißt gebrochenrational, wenn sie als Quotient zweier ganzrationale Funktion u(x) und v(x) dargestellt werden kann, so daß gilt:
mit v(x)¹0.
(1) Der Definitionsbereich umfaßt im allgemeinen den Bereich der reellen Zahlen, jedoch ist die Funktion f für solche Argumente xP nicht definiert, für die v(xP)=0 und u(xP)¹0 ist. An diesen Stellen ist der Graph der Funktion unterbrochen. Solche Argumente heißen Polstellen der Funktion. Die Senkrechte zur x-Achse mit der Gleichung x=xP ist die Asymptote des Graphen.
Der Graph der Funktion kommt bei Annäherung an die Polstellen der Asymptote beliebig nahe.
(2) Nullstellen der gebrochenrational Funktion f sind solche Argumente xN, für die u(xN)=0 und v(xN)¹0 gilt.
(3) Bei unbeschränkt wachsendem (bzw. fallendem) x kommt der Graph der Funktion f der Geraden mit der Gleichung x=xP beliebig nahe. Diese Gerade ist eine Asymptote der Kurve.
Da sich jede gebrochenrational Funktion f mit mit Hilfe der Division u(x):v(x) in eine Summe aus einer ganzrationale Funktion g und einer echt gebrochenrational Funktion h umformen läßt [f(x)=g(x)+h(x)], und eine echt gebrochenrational Funktion h für sich der x-Achse beliebig nähert, ist der Graph von g Asymptote für den Graph der Funktion f.
(4) Die einfachsten Vertreter gebrochenrationaler Funktionen sind die Potenzfunktionen y=f(x)=xn mit xÎR, x¹0, nÎZ und n<0. Die Graphen dieser Potenzfunktionen mit negativ ganzzahligen Exponenten heißen Hyperbeln n-ten Grades.
Eigenschaften dieser Potenzfunktionen: Ungerade Funktionen ½ Gerade Funktionen
y=f(x)=xn, n£-1, ½n½ ungerade ½ y=f(x)=xn, n£-2, ½n½ geradeGemeinsame Eigenschaften der Kurvenscharen Wertebereich: -¥<y<0 und 0<y<+¥ ½ Wertebereich: 0<y<+¥
unbeschränkt ½ nach unten beschränkt
zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung ½ achsensymmetrisch zur y-Achse
streng monoton fallend für x<0 und für x>0 ½ streng monoton wachsend für x<0
½ streng monoton fallend für x>0
x- und y-Achse sind Asymptoten; zwei getrennte Äste
Verlauf im 3. ind 1. Quadranten ½ Verlauf im 2. ind 1.
QuadrantenGemeinsame Punkte aller Graphen P1(1/1); P2(-1/-1) ½ P1(1/1); P2(-1/1)
Irrationale Funktionen
Nichtrationale algebraische Funktionen werden auch als irrationale Funktionen bezeichnet. Es sind dies die Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten (z.B. Wurzelfunktionen).
Nach Erweiterung des Potenzbegriffs auf Potenzen mit rationalen Exponenten durch (x>0; xÎR; p,qÎZ; q>0) können Potenzfunktionen f mit f(x)=xn mit (p,qÎZ; q>0; q,p teilerfremd) untersucht werden.
Diese Funktionen sind:
- bei p>0 für alle nichtnegativen Zahlen,
- bei p<0 für alle positiven Zahlen
definiert.
Spezielle Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten sind die Wurzelfunktionen.
Jede Funktion f mit (x³0, nÎN, n³2) heißt Wurzelfunktion. Sie können als die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen g mit g(x)=xn mit x³0, nÎN und n³2 aufgefaßt werden. Die Funktionen g und f sind zueinander invers (f=g-1).
Zum Bilden der Umkehrfunktion muß
a) - der Definitionsbereich von g(x)=xn in Monotonieintervalle zerlegt werden (Forderung nach der Eindeutigkeit von g) und
b) - die Definition der n-ten Wurzel (für nichtnegative Radikanten) beachtet werden.
Für geradzahliges n gibt es für jedes der beiden Monotonieintervalle -¥<y£0 und 0£y<+¥ der Potenzfunktion y=xn eine Wurzelfunktion bzw.
im Intervall 0<x<+¥. Ihre Graphen sind Parabeläste, axialsymetrisch zur x-Achse gelegen.Für ungeradzahliges n gibt es im gesamten Definitionsbereich eine eindeutig bestimmte Umkehrfunktion. Sie kann aber nicht geschlossen durch eine Gleichung dargestellt werden. Sie wird für x³0 durch und für x<0 durch beschrieben.
BEISPIEL
Die Funktion f mit f(x)=x² hat zwei Monotonieintervalle.
Deshalb gibt es zwei Umkehrfunktionen:
Mit x³0 und y³0 ist die Umkehrfunktion u(x)=f -1(x)= mit x³0 und y³0.
Eigenschaften der Funktion u:
monoton wachsend
nach unten beschränkt, Gu=0
Nullstelle xN=0
Der Graph der Funktion u verläuft im 1.Quadranten.
Mit x£0 und y³0 ist die Umkehrfunktion v(x)=f -1(x)= - mit x³0 und y£0.
Eigenschaften der Funktion v:
monoton fallend
nach oben beschränkt, Go=0
Nullstelle xN=0
Der Graph der Funktion v verläuft im 4.Quadranten.
(2) Die Umkehrfunktion für Funktion f mit f(x)=x³ kann nicht durch eine Gleichung beschrieben werden. Die zu f(x)=x³ inverse Funktion ist:
Eigenschaften der Funktion g:
streng monoton wachsend
unbeschränkt
ungerade Funktion
Nullstelle xN=0
Der Graph der Funktion g verläuft im 3. und 1.Quadranten. Er ist zentralsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Transzendente Funktionen
Transzendente Funktionen sind nichtalgebraische Funktionen, d.
h. Funktionen, deren Zuordnungsvorschrift nicht durch eine algebraische Gleichung dargestellt werden kann.
Zu den transzendente Funktionen gehören:
a) - die zueinander inversen Funktionen Exponential- und Logarithmusfunktion
b) - die zueinander inversen Funktionen Winkel- und Arcusfunktion.
(1) Funktionen f mit f(x)=ax (aÎR, a>0, a¹1) heißen Exponentialfunktionen. Sie sind für alle reellen x definiert.
Eigenschaften der Exponentialfunktion:
Für 0<a<1
streng monoton fallend
nach unten beschränkt, Gu=0
Für a>1
streng monoton wachsend
nach unten beschränkt, Gu=0
Die Graphen der Funktionen verlaufen im 2.
und 1.Quadranten und gehen alle durch den Punkt P(0/1). Die x-Achse ist Asymptote an den Graphen der Exponentialfunktion.
Die Graphen der Funktionen f(x)=ax und g(x)=a-x liegen achsensymmetrisch zur y-Achse.
Da am.an=am+n ist, gilt für jede Exponentialfunktion zur Basis a das Additionstheorem f(x1).
f(x2)=f(x1+x2).
Wählt man als Basis einer Exponentialfunktion die Eulersche Zahl , so erhält man die natürliche Exponentialfunktion (f(x)=ex). Sie hat im Punkt P(0/1) den Anstieg 1, d.h., die Tangente in diesem Punkt an den Graphen der e-Funktion schließt mit der positiven x-Achse den Winkel j=45° ein.
(2) Die zur Exponentialfunktion g mit g(x)=ax (aÎR, a>0, a¹1) inverse Funktion heißt Logarithmusfunktion zur Basis a [f(x)=logax (xÎR, x>0, a>0, a¹1)].
Eigenschaften der Logarithmusfunktion:
Für 0<a<1
streng monoton fallend
unbeschränkt
Nullstelle xN=1
Für a>1
streng monoton wachsend
unbeschränkt
Nullstelle xN=1
Die Graphen aller Logarithmusfunktionen verlaufen im 1. und 4.Quadranten und gehen alle durch den Punkt P(1/0). Die y-Achse ist Asymptote an den Graphen der Exponentialfunktion. Die Graphen der Funktionen f(x)= logax und g(x)= liegen achsensymmetrisch zur x-Achse.
Da loga(x1.
x2)=logax1+logax2 ist, erfüllt jede Logarithmusfunktion die Gleichung f(x1.x2)=f(x1)+f(x2).
Wählt man als Basis einer Logarithmusfunktion die Eulersche Zahl , so erhält man die natürliche Logarithmusfunktion (f(x)=logex=lnx).
(3) Wenn in einer Funktion f mit y=f(x) das Argument x einen Winkel darstellt, heißt diese Funktion eine Winkelfunktion.
Um den Ursprung O eines ebenen kartesischen Koordinatensystems sei ein Kreis mit dem Radius r>0 gezeichnet. Auf der Peripherie befinde sich ein beliebiger Punkt P(u/v).
Verbindet man P mit O, so entsteht der orientierte Winkel ÐQOP=Ðx, wobei Q der Fußpunkt des Lotes von P auf die x-Achse sei. Jedem Winkel x können Zahlenverhältnisse zugeordnet werden, die aus der Abszisse u, der Ordinate v des Punktes P und dem Radius r des Kreises gebildet werden (u,v,rÎR, r>0).
Das Verhältnis von Ordinate v zum Radius r ist eine reelle Zahl, die mit sin x bezeichnet wird: . Die Menge der geordneten Zahlenpaare (x;sin x) heißt Sinusfunktion, und wird mit y=f(x)=sin x bezeichnet.
Für zueinander äquivalente Winkel erhält man gleiche Funktionswerte.
Es gilt daher sin (x+2kp)=sin x mit kÎZ.
Das Verhältnis von Abszisse u zum Radius r ist eine reelle Zahl, die mit cos x bezeichnet wird: . Die Menge der geordneten Zahlenpaare (x;cos x) heißt Cosinusfunktion, und wird mit y=f(x)=cos x bezeichnet.
Für zueinander äquivalente Winkel erhält man gleiche Funktionswerte.
Es gilt daher cos (x+2kp)=cos x mit kÎZ.
Sinusfunktion und Cosinusfunktion sind zueinander komplementäre Funktionen (Cofunktionen), d.h.
, und , da x und komplementäre Winkel sind.
Für beliebige Winkel x gilt: sin² x + cos² x = 1, wobei sin² x = (sin x)² und cos² x = (cos x)² bedeutet.
Das Verhältnis von Ordinate v zu Abszisse u ist eine reelle Zahl, die mit tan x bezeichnet wird: mit u¹0.
Da und ist, kann tan x auch als Quotient von sin x und cos x dargestellt werden: tan x mit cos x¹0.
Die Menge der geordneten Zahlenpaare (x;tan x) mit x¹(2k+1), kÎZ heißt Tangensfunktion, und wird mit y=f(x)=tan x bezeichnet.
Für zueinander äquivalente Winkel erhält man gleiche Funktionswerte.
Es gilt daher tan (x+kp)=tan x mit kÎZ.
Das Verhältnis von Abszisse u zu Ordinate v ist eine reelle Zahl, die mit cot x bezeichnet wird: mit v¹0.
Da und ist, kann cot x auch als Quotient von cos x und sin x dargestellt werden: cot x mit sin x¹0.
Die Menge der geordneten Zahlenpaare (x;cot x) mit x¹kp, kÎZ heißt Cotangensfunktion, und wird mit y=f(x)=cot x bezeichnet.
Für zueinander äquivalente Winkel erhält man gleiche Funktionswerte.
Es gilt daher cot (x+kp)=cot x mit kÎZ.
Tangensfunktion und Cotangensfunktion sind zueinander komplementäre Funktionen (Cofunktionen), d.h., und (x¹k, kÎZ), da x und komplementäre Winkel sind.
Für beliebige Winkel x mit x¹k (kÎZ), gilt: tan x . cot x = 1.
Nichtelementare Funktionen
Reelle Funktionen f heißen nichtelementar, wenn sie sich nicht mit Hilfe endlich vieler Verknüpfungen u±v, u.
v, u:v, u°v aus Potzenz-, Exponential- Winkelfunktionen und deren Umkehrfunktionen darstellen lassen.
(1) Die Betragsfunktion b mit ist für alle xÎR definiert und es gilt: f(x)³0.
Die Funktion ist in zwei Teilfunktionen b1 und b2 zerlegbar, so daß gilt:
b1(x)= f(x) für alle f(x)³0
b2(x)=-f(x) für alle f(x)<0
(2) Die Signumfunktion s mit s(x) = sgn(f(x)) ist für alle xÎR definiert und es gilt:
sgn(f(x))=
(3) Die Gaußklammerfunktion g mit g(x) = [x] ist für alle xÎR definiert und es gilt:
Ist xÎR, so bezeichnet man mit [x] die größte ganze Zahl £ x.
d.h.: [x] = x, für xÎZ,
[x] < x, für xÎR\Z
(4) Die Heavisidefunktion h mit h(x) = H(x) ist für alle xÎR definiert und es gilt:
H(x)=
(5) Die Integerfunktion i mit i(x) = int x ist für alle xÎR definiert und es gilt:
int x = [x] für x³0
int x = [x+1] für x<0
Eine Funktion heißt Treppenfunktion, wenn sie in einem abgeschlossenen Intervall definiert ist, das in endlich viele Teilintervalle zerlegt werden kann, in denen die Funktion konstant ist.
Somit sind Signum-, Gaußklammer-, Heaviside- und Integerfunktion Beispiele für Treppenfunktionen, wenn ihre Definitionsmenge auf ein abgeschlossenes Intervall eingeschränkt wird.
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