Formelsammlung
In Dankbarkeit zwei Füchsen gewidmet:
Mr. Ronald Fox,
der mir während meines High-School-Jahres
in den USA die Augen für
die Faszination
der Mathematik öffnete.
Herrn Dr. Herbert Voß,
der mir beibrachte, die
Mathematik anschaulich zu
betrachten, und ohne den
diese Sammlung heute nicht
das wäre, was sie ist.
Daniel Kumitz
ã Alle Rechte der Veröffentlichung liegen bei den Autoren! Jede Veränderung bedarf unserer ausdrücklichen Zustimmung.
Berlin, 1995
Inhaltsverzeichnis1 Allgemeines 6
1.
1 Variablen und Mengen 6
1.2 Monotonie 6
1.3 Umkehrfunktionen (Inverse Funktionen) 7
1.4 Stetigkeit 9
1.5 Symmetrien 10
1.6 Asymptoten 11
1.
6.1 Vertikale Asymptoten 11
1.6.2 Horizontale Asymptoten 11
1.6.3 Schiefe Asymptoten 12
2 Funktionstypen 12
2.
1 Algebraische Funktionen 12
2.1.1 Rationale Funktionen 13
2.1.1.1 Ganzrationale Funktionen (Polynom-Funktionen) 13
2.
1.1.1.1 Allgemeines 13
2.1.1.
1.2 Allgemeine Ganzrationale Funktionen 14
2.1.1.1.3 Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten 14
2.
1.1.1.4 Verhalten der Polynomfunktionen im Unendlichen 15
2.1.1.
2 Gebrochenrationale Funktionen 15
2.1.1.2.1 Allgemeine Gebrochenrationale Funktionen 15
2.1.
1.2.2 Hyperbeln oder Potenzfunktionen mit ganzzahligem negativen Exponenten 15
2.1.2 Irrationale Funktionen 15
2.1.
2.1 Wurzelfunktionen 15
2.1.2.1.1 Quadratwurzelfunktionen 15
2.
1.2.1.2 Kubikwurzelfunktionen 15
2.2 Transzendente Funktionen 15
2.2.
1 Winkel-, Kreis,- oder Trigonometrische Funktionen 15
2.2.2 Arcus-Funktionen 15
2.2.3 Exponential-, Logarithmus und Hyperbelfunktionen 15
2.2.
3.1 Exponentialfunktionen 15
2.2.3.2 Logarithmusfunktionen 15
2.2.
3.3 Hyperbolische Funktionen 15
2.3 Verknüpfte Funktionen 15
2.4 Verkettete Funktionen 15
2.5 Elementare Funktionen 15
2.6 Nicht-Elementare Funktionen 15
3 Funktionsveränderungen 15
3.
1 Die vertikale Verschiebung 15
3.2 Die horizontale Verschiebung 15
3.3 Spiegelung an den Koordinatenachsen 15
3.4 Streckung und Stauchung 15
3.4.1 Streckung oder Stauchung in Richtung der y-Achse 15
3.
4.2 Streckung und Stauchung in Richtung der x-Achse 15
3.5 Beispiele 15
3.5.1 Normalparabel 15
3.5.
2 Beispiel Sinusfunktion 15
3.5.2.1 Amplitudenänderungen 15
3.5.2.
2 Frequenzänderungen 15
3.5.2.3 Horizontale Verschiebung (Phasenänderngen) 15
3.5.2.
4 Vertikale Verschiebung (Fahrstuhl) 15
3.5.2.5 Kombination von Strecken und Verschieben 15
3.5.3 Die anderen trigonometrischen Funktionen 15
3.
5.3.1 Tangens und Kotangens 15
4 Nullstellen 15
4.1 Rationale Funktionen 15
4.1.1 Potenzfunktionen mit positiven Exponenten 15
4.
1.2 Allgemeine ganzrationale Funktionen 15
4.1.2.1 Konstante und Lineare Funktionen 15
4.1.
2.2 Quadratische Funktionen 15
4.1.2.3 Funktionen dritten und höheren Grades 15
4.1.
3 Gebrochenrationale Funktionen 15
4.2 Wurzelfunktionen 15
4.3 Trigonometrische Funktionen 15
4.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen 15
5 Numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung 15
5.1 Das Verfahren von Newton 15
5.2 Die Regula-Falsi 15
6 Beispiele 15
6.
1 Kurvendiskussion 1 15
6.2 Kurvendiskussion 2 15
6.3 Flächenberechnung 15
7 Formelsammlung 15
7.1 Potenzen 15
7.2 Wurzeln 15
7.3 Binomische Formeln 15
7.
4 pq-Formel 15
7.5 Winkelfunktionen (Additionstheoreme) 15
7.6 Ableitungsregeln 15
7.7 Integrationsregeln 15
8 Mathematische Begriffe 15
Vorwort
An einem kreativen Oktobernachmittag 1993 geboren, an langen, gemütlichen Winterabenden bis Februar 1994 entstanden, erschien an den Iden des März die erste Version dieser Funktionensammlung. Zunächst für meine Mathematik-Nachhilfeschüler gedacht, nahm sie in jenem Winter tagtäglich an Volumen zu. Jetzt erscheint die nochmals vollständig überarbeitete und ergänzte zweite Fassung, die vor allen Dingen übersichtlicher gestaltet wurde.
Diese Zusammenstellung ist für Schüler der gymnasialen Oberstufe gedacht, hauptsächlich für Grundkursteilnehmer. Aber auch dem Leistungskursschülern kann sie zumindest als Gedächtnisstütze gute Dienste erweisen. Dem Leser soll durch anschauliche Erklärungen ermöglicht werden, die wichtigen mathematischen Funktionen zu verinnerlichen und vor allen Dingen ihre Graphen schnell analysieren und zeichnen zu können. Man muß praktisch nur einige wichtige Prinzipien begreifen, was wir hier durch anschauliche Beschreibungen, wie “Fahrstuhl-” oder “Zimmernummereffekt” zu unterstützen versuchen. Neben solchen, den Einstieg erleichternden, “spielerischen” Betrachtungsweisen wurde natürlich immer auch Wert auf exakte mathematische Beschreibungen gelegt.
Um diese Zusammenstellung als Nachschlagewerk benutzen zu können, wird empfohlen, sie erst als Ganzes durchzulesen.
Erst werden grundlegende Begriffe erklärt, bevor die “normalen” Funktionen zu den etwas “schwierigeren” führen. Insbesondere werden die für die Analysis wichtige Nullstellenbestimmung und Graphenverschiebungen und -spiegelungen behandelt. Die eigentliche Analysis und Integration sind nicht Inhalt dieser Sammlung. Trotzdem beziehen sich einige der Beispiele im sechsten Kapitel auf diese Thematik.
Dank gilt noch Cornelia Kunze, die Korrektur las und auch auf die Verständlichkeit achtete.
Berlin, im März 1995
Daniel Kumitz
Getreu der Devise, daß man gemeinsam meistens mehr erreicht als ein einsamer “Einzelkämpfer”, haben wir versucht, diese Sammlung in einer zweiten Fassung zu optimieren.
Die wesentliche Arbeit hat Daniel mit seiner ersten Ausgabe vollbracht. Jeder, der schon einmal ein etwas längeres Referat geschrieben hat, weiß, was an Arbeit dahintersteckt.
Diese Sammlung ist auch eine Bestätigung dafür, daß Schüler eben doch gemeinsam mit Lehrern etwas erreichen können, sei es, wie in diesem Fall, auch “nur” Mathematisches. Berührungsängste gab es jedenfalls nicht, “höchstens beim Erstellen der Graphen, wenn es um die Tangenten ging”. Das Ganze dient letztlich uns, den Schülern zum besseren Verständnis, den Lehrern als Unterstützung für ihren Unterricht.
Berlin, im März 1995
Herbert Voß
Allgemeines
G
rundlegend für die Mathematik sind die sogenannten Funktionen.
Fast alle naturwissenschaftlichen oder gesellschaftspolitischen Vorgänge lassen sich in Funktionen einer oder mehrerer Variablen ausdrücken. Dabei muß das Aufstellen derartiger Funktionen nicht unbedingt einfach sein.
Variablen und Mengen
E
ine Funktion ist eine Menge geordneter Paare (x;y). Sie ist eine eindeutige Zuordnung, d.h. jedem x-Wert wird nur ein einziger y-Wert zugeordnet.
Jede senkrechte Gerade darf also den Graphen der Zuordnung/Funktion höchstens einmal schneiden. Dabei spielen die Namen der Variablen keine Rolle. Häufig (v.a. in der Physik) wird statt x die Variable t (für die Zeit) verwendet. Grundsätzlich gibt es eine unabhängige Variable und eine abhängige Variable.
Meist ist y als Funktionswert die abhängige Variable (sie ist von x abhängig) und x (t,s,etc.) die unabhängige Variable (sie wird willkürlich gewählt). Die unabhängige Variable kommt aus der Definitionsmenge D, die abhängige Variable wird der Wertemenge W entnommen. Diese enthält alle Abbildungen der unabhängigen Variablen unter f, d.h. D wird abgebildet auf W (D®W).
Man kann D und W bestimmten Funktionen zuordnen, z.B. ist Df die Definitionsmenge von f(x) oder Wh die Wertemenge von h(x).
Die Darstellungsweisen y=3x und f(x)=3x sind grundsätzlich identisch. Beide bezeichnen: (jedem x wird sein Dreifaches zugeordnet). Die Darstellungsweise y=.
.. ermöglicht das Rechnen mit beiden Seiten der Gleichung, z.B. bei der Darstellung eines Kreises: . Man beachte, daß es sich nicht um eine Funktion handelt! Lediglich f(x)=.
.. weist immer auf eine Funktion hin, z.B.: (Halbkreisfunktion).
Die Aufgabe der unabhängigen Variablen ist die eines Platzhalters.
So wird die Variable durch die Zahl ersetzt, deren Funktionswert wir ermitteln wollen. Suchen wir z.B. von den Funktionswert von (-2), so ersetzen wir alle x durch (-2): .
Monotonie
G
ilt für eine Funktion, daß auf dem Interval I der jeweils rechts von f(x1) folgende Funktionswert f(x2) größer oder gleich ist, so ist die Funktion auf dem Intervall I monoton steigend: . Monoton fallend ist sie dagegen wenn der umgekehrte Fall vorliegt, also jeder Funktionswert rechts von f(x1) kleiner oder gleich ist: , mit .
Abbildung 1-1 Beispiele zur MonotonieStreng monoton steigend ist eine Funktion, wenn gilt ; streng monoton fallend, wenn gilt: , mit . (Hier reicht es also nicht, wenn der Funktionswert gleich bleibt!)
Das Intervall I heißt Monotonieintervall. Der entsprechende Teil des Graphen heißt dann Monotoniebogen.
Abbildung 1-2 Beispiele zur Umkehrfunktion
Umkehrfunktionen (Inverse Funktionen)
E
ine Umkehrfunktion läßt sich nur von einer eindeutig umkehrbaren Funktion bilden, so daß also wieder eine Funktion entsteht. Funktionen sind anschaulich eindeutig umkehrbar, wenn jede waagerechte Linie den Funktionsgraphen höchstens einmal schneidet, also jedem y-Wert nur ein x-Wert zugeordnet wird. Mathematisch ausgedrückt heißt das: eine Funktion ist eindeutig umkehrbar, wenn aus folgt, daß , womit streng monotone Funktion eindeutig umkehrbar sind.
Nicht-stetige Funktionen können auch eindeutig umkehrbar sein, wenn sie nicht streng monoton sind. So ist die Funktion aus Abbildung 1-2a zwar nicht monoton für die gesamte Definitionsmenge, sondern nur auf den Teilintervallen [-¥;0] (streng monoton steigend) und [0;+¥] (streng monoton fallend), aber doch eindeutig umkehrbar! Denn jedem y-Wert wird nur ein x-Wert zugeordnet. Dies wurde dadurch möglich, daß f in zwei verschiedenen Gleichungen für beide Intervalle ausgedrückt ist, und dadurch ein “Sprung” des Graphen bei x=0 entsteht:
(Intervallweise definierte Funktion)
Derartige Fälle der intervallweisen Definition sind z.B. in naturwissenschaftlichen Prozessen häufig zu finden.
Bildet man die Umkehrfunktion, so werden alle Lösungspaare vertauscht: Aus (x;y) wird (y;x) (siehe Abbildung 1-3).
D.h. wurde z.B. vorher der Zahl x=2 der Wert y=4 zugeordnet, so wird jetzt der Zahl y=4 der Wert x=2 zugeordnet. Gewohnheitsmäßig werden dann zusätzlich die Variablennamen mitvertauscht, so daß dann der Zahl x=4 der Wert y-1=2 zugeordnet wird.
Ebenfalls vertauscht werden Definitions- und Wertemenge: Df wird zu und W wird zu .
G
Die Umkehrfunktion wird ermittelt, indem die Funktionsgleichung nach der unabhängigen Variablen (x) aufgelöst wird, und dann diese mit der abhängigen Variablen (y) vertauscht wird (siehe auch Abbildung 1-2):
Zeichnerisch wurde der Graph an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten, y=x, gespiegelt. Nicht eindeutig umkehrbare Funktionen können aber auch ohne weiteres für Teilintervalle, in denen der Funktionsgraph streng monoton verläuft, invertiert werden, z.B.
f(x)=sinx (I=[0;p/2]) oder f(x)=x2 (I=[0;+¥)).
G
Es ist manchmal sinnvoll zu wissen, welche Funktionen zueinander invers sind. Die meisten Taschenrechner haben nur eine “ln” (logarithmus naturalis)-Taste, aber keine für “e”. Da aber die meisten Taschenrechner eine INV-Taste haben, kann man ohne weiteres die Werte für ln-1x , also ex, ausrechnen! Z.B. ergibt “2-INV-ln” in der Anzeige 7,389, was e2 entspricht.
Das gleiche gilt für sin-1, cos-1, tan-1 und log-1 (eigentlich “lg”, d.h. zur Basis 10!).
Stetigkeit
E
ine Funktion f(x) ist anschaulich stetig, wenn der Graph ohne Unterbrechungen, wie Lücken oder Sprünge gezeichnet werden kann.
G
Eine Funktion f(x), deren Definitionsbereich eine Umgebung der Stelle x=c enthält, ist an der Stelle x=c genau dann stetig, wenn drei Bedingungen erfüllt sind:
1) Die Funktion ist für x=c definiert, d.h.
f(c) existiert;
2) Der Grenzwert existiert:
3) Es gilt f(c)=g
Gelten die drei Bedingungen für alle xÎD, so ist diese Funktion über dem gesamten Definitionsbereich stetig.
Beispiele:
1. Die Funktion ist an der Stelle x=2 unstetig. Zwar ist vorhanden, aber f(1) existiert nicht!
2. Die Gaußklammerfunktion y=f(x)=x[x] (Abbildung 2-12b) ist z.B.
an der Stelle x=2 definiert: f(2)=2. Es gilt aber:
,
d.h., ist nicht vorhanden. Die Funktion ist bei x=2 und jedem weiteren ganzzahligen Wert unstetig.
Symmetrien
D
Abbildung 1-4 Symmetrische Funktionie Graphen von Funktionen können Symmetrien zu Punkten und vertikalen Geraden aufweisen.
Interessant sind vor allem die Graphen von Funktionen, die punktsymmetrisch zum Ursprung (Nullpunkt des Koordinatensystems) oder achsensymmetrisch zur y-Achse (Ordinate) liegen. Für eine ursprungssymmetrische Funktion gilt:
f(x)=-f(-x).
Sie heißt definitionsgemäß ungerade Funktion (Abbildung 1-4).
G
Ganzrationale Funktionen, die ausschließlich ungerade Exponenten aufweisen, sind grundsätzlich punktsymmetrisch zum Ursprung, z.B. .
Für eine y-Achsensymmetrische Funktion gilt: f(x)=f(-x). Sie heißt definitionsgemäß gerade Funktion (Abbildung 1-5).
G
Ganzrationale Funktionen, die ausschließlich gerade Exponenten enthalten, sind grundsätzlich symmetrisch zur y-Achse, z.B.: .
Funktionsgraphen können aber auch zu anderen vertikalen Achsen oder zu anderen Punkten symmetrisch sein (nicht jedoch zu horizontalen Achsen, dann wären es ja keine Funktionen mehr).
Wie Abbildung 2-3a zeigt, liegt z.B. die Funktion
punktsymmetrisch zum Punkt (-1;0).
Asymptoten
A
ls Asymptoten bezeichnet man Funktionen, an die sich der Graph einer anderen Funktion für x®±¥ annähert. Im folgenden sollen hier nur lineare Asymptoten behandelt werden, d.h.
vertikale, horizontale oder schiefe Asymptoten. Nicht jeder Funktionsgraph hat zwangsläufig Asymptoten! Häufig treten sie bei den gebrochenrationalen Funktionen auf, überhaupt bei Verknüpfungen von Funktionen durch Quotientenbildung, z.B. , mit periodischen, vertikalen Asymptoten (Polstellen) für
Vertikale Asymptoten
Unter vertikalen Asymptoten versteht man senkrechte Geraden. Der Graph nähert sich einer vertikalen Asymptote bei y®±¥ an, wenn x®xp. xp ist der x-Wert, durch den die Asymptote geht, er heißt Polstelle.
Vertikale Asymptoten werden mit x=xp bezeichnet.
G
Vertikale Asmptoten können von Funktionsgraphen nicht geschnitten werden, da sonst keine eindeutige Zuordnung vorliegt!
Horizontale Asymptoten
An horizontale Asymptoten nähert sich der Graph einer Funktion bei x®±¥ an. Dabei sind die horizontalen Asymptoten für plus und minus Unendlich nicht immer gleich. Eine solche waagerechte Gerade kann vom Funktionsgraphen mehrmals geschnitten werden, bevor der Graph asymptotisch wird und sich der horizontalen Asymptote von oben oder unten annähert. Horizontale Asymptoten werden mit einer konstanten Gleichung ausgedrückt (z.B.
y=2).
Schiefe Asymptoten
Der Funktionsgraph kann sich gegen x®±¥ auch Geraden nähern, die eine “normale” Steigung aufweisen, also
0<|m|<+¥.
Sie werden durch einfache lineare Gleichungen beschrieben, z.B. für Abbildung 1-7 mit A(x)=yA=x oder .
Funktionstypen
Algebraische Funktionen
A
ls algebraisch gilt eine Funktion, die aus einer begrenzten Anzahl von Summen, Differenzen, Multiplikationen, Divisionen und Wurzeln besteht, die die Form xn enthalten.
Rationale Funktionen
Ganzrationale Funktionen (Polynom-Funktionen)
Allgemeines
Wie der Name “Polynom-Funktionen” schon sagt, setzen diese Funktionen sich aus vielen unterschiedlichen Gliedern zusammen. Je nach Anzahl der Glieder ist eine solche Funktion ersten Grades, zweiten Grades, dritten Grades usw. Glieder sind zum Beispiel a1x oder allgemein aixi. Sie werden durch einen Index unterschieden, da das erste Glied ein x in der ersten und das zweite ein x in der i-ten Potenz enthält. Das größte auftretende Gleid heißt häufig anxn.
Koeffizienten sind die Zahlen, die in den einzelnen Gliedern vor der Variablen stehen.
Die Funktion hat die Koeffizienten 3, 7, -1 und -107. Da das letzte Glied keine Variable enthält (denn x0=1), wird es auch additive Konstante genannt (da die konstante Zahl 107 subtrahiert wird). Die anderen Koeffizienten sind multiplikative Konstanten (da die Variable mit ihnen multipliziert wird: 3 ist im Beispiel multiplikative Konstante im kubischen Glied). Der Grad einer ganzrationalen Funktion bestimmt sich dabei aus der Anzahl der Glieder, die eine Variable enthalten, bzw. stimmt mit dem größten Exponenten überein.
Achtung: Auch Glieder mit dem Koeffizienten 0 sind Glieder und müssen gezählt werden; z.
B. ist f(x)=x2 eine Funktion zweiten Grades, da der größte Exponent “2” ist. Auch die Summe der Glieder mit x ergibt zwei, denn eigentlich steht dort f(x)=1x2+0x+0)
G
Definitionsmenge und Wertemenge einer jeden Polynom-Funktion sind Â. Polynom-Funktionen sind stetig im gesamten Definitionsbereich.
Sinngemäß heißen die sortierten Glieder einer Polynom-Funktion:
konstantes Glied a0, lineares Glied a1x,
quadratisches Glied a2x2 kubisches Glied a3x3, usw.
Allgemeine Ganzrationale Funktionen
a) Ganzrationale Funktion nullten Grades: f(x)=k.
Es ist eine konstante Funktion, d.h. der Graph ist eine Parallele zur x-Achse. Z.B. f(x)=3.
Für jeden x-Wert gilt f(x)=3, d.h. jedem x-Wert wird der Wert 3 zugeordnet. (xà3) (Abbildung 2-1a).
b) Ganzrationale Funktion ersten Grades: f(x)=mx+n.
Es ist eine lineare Funktion (der Graph ist eine Gerade) mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt n (Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse).
Z.B. f(x)=2x-3 (Abbildung 2-1a b).
c) Ganzrationale Funktion zweiten Grades: f(x)=ax2+bx+c.
Sie wird auch quadratische Funktion genannt. Ihr Graph ist eine Parabel, z.
B. f(x)=x2; die sogenannte Normalparabel (Abbildung 2-1a c).
d) Ganzrationale Funktion dritten Grades (kubische Funktion): f(x)=ax3+bx2 +cx +d.
Der Graph wird kubische Parabel genannt, z.B. f(x)=x3 (Abbildung 2-1a d).
e) Die allgemeinen Formen ganzrationaler Funktionen höheren Grades lauten analog:
vierten Grades: f(x)=ax4+bx3 +cx2+dx+e
fünften Grades: f(x)=ax5+bx4+cx3+dx2 +ex+f
sechsten Grades: f(x)=ax6+bx5+cx4+dx3+ex2+fx +g
usw.
Eine beliebige Polynom-Funktion (n-ten Grades):
Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten
Einen Spezialfall bilden die Potenzfunktionen. Potenzfunktionen sind definiert als f(x)=xn, nÎN. Hier sind bis auf einen alle Koeffizienten gleich Null. Ist n gerade, dann ist auch die Funktion gerade, z. B.
f(x)=x2 oder f(x)=x4 (Abbildung 2-1a, c,e). Bei ungeradem n ist auch die Potenzfunktion ungerade, z.B. f(x)= Abbildung 2-1a, d).
Tabelle 1 Eigenschaften der Potenzfunktion y=xn mit n>0
Exponent
Gerade (n=2m)
Ungerade (n=2m+1)
Definitionsbereich
xÎÂ
xÎÂ
Wertebereich
yÎ[0;¥)
yÎÂ
Symmetrie
gerade Funktion
ungerade Funktion
Stetigkeit für
xÎÂ
xÎÂ
Monoton fallend für
xÎ(-¥;0]
- - - - - - -
Monoton steigend für
xÎ(0;¥)
xÎÂ
Gemeinsame Punkte
P1(1;1)
O(0;0)
P2(-1;1)
P1(1;1)
O(0;0)
P3(-1;-1)
Verhalten der Polynomfunktionen im Unendlichen
Für alle Polynom-Funktionen gilt: wenn x®±¥ geht, dann geht f(x)®±¥. Trotzdem kann man einer Polynom-Funktion ansehen, wann ihr Graph nach +¥ und wann nach -¥ verläuft.
Entscheidend ist der Koeffizient im größten Glied, also an:
Tabelle 2 Eigenschaften der Polynomfunktionen
Grad der Funktion
an
Verhalten des Graphen
geradzahlig
a>0
geht auf beiden Seiten nach +¥.
a<0
geht auf beiden Seiten nach -¥
ungeradzahlig
a<0
geht links nach +¥ und rechts nach -¥
a>0
geht links nach -¥ und rechts nach +¥
Gebrochenrationale Funktionen
Allgemeine Gebrochenrationale Funktionen
Bei einer gebrochenrationalen Funktion wird eine Polynom-Funktion Z(x) durch eine andere Polynom-Funktion N(x) dividiert:
Gebrochenrationale Funktionen sind überall dort definiert, wo N(x)¹0 (anderfalls liegt die unerlaubte Division durch Null vor!). Die Definitionsmenge ist Â, vermindert um die Nullstellen der Nennerfunktion N(x). Innerhalb der Definitionsmenge sind gebrochenrationale Funktionen stetig.
G
Gebrochenrationale Funktionen sind an den Stellen N(x)=0 nicht definiert!
Wir unterscheiden drei Fälle:
a) Z(x)=0, aber N(x)¹0. Hier liegt eine Nullstelle der Funktion f(x) vor.
Die Nullstellen der Zählerfunktion Z(x) sind die Nullstellen der Funktion f(x).
b) Z(x)¹0, aber N(x)=0. Hier liegen Polstellen vor, d.h. der Graph wandert an beiden Seiten der Polstelle nach plus oder minus Unendlich (dies ist leicht erklärbar, denn je kleiner der Nenner wird, desto größer wird der Bruch). Die betreffenden x-Werte werden mit xp bezeichnet.
Die senkrechten Geraden, die durch xp1 ,xp2, ... gehen, sind vertikale Asymptoten (vgl. Abbildung 1-6). Für die Bestimmung der Polstellen reicht also die Bestimmung der Nullstellen des Nennerpolynoms.
c) Z(x)=0 und N(x)=0. Hier tritt ein “Loch” (bzw. eine Lücke) im Graphen von f(x) auf, z.B. bei der Funktion . Für alle xÎR\{-2} läßt sich diese Funktion auf (x+2) kürzen.
Für x=-2 erhält man die Division von Null durch Null! x+2 ist aber eindeutig eine lineare Funktion. So zeichnet man denn auch diese Gerade und läßt an der Stelle x=2 ein Loch im Graphen, da dieser Funktionswert nicht definiert ist. Hier spricht man von einer hebbaren Definitionslücke (siehe Abbildung 2-12). Entsprechend ist auch der Grenzwert für x=2 existent, der Graph nähert sich von beiden Seiten an y=0 an: . Da der Funktionswert f(2) nicht definiert ist, ist die Funktion bei x=2 nicht stetig.
Man unterscheidet die gebrochenrationalen Funktionen in echt und unecht gebrochene.
Ist der größte Exponent von Z(x) gleich m und der größte Exponent von N(x) gleich n, dann gilt:
a) echt gebrochen ist eine gebrochenrationale Funktion, wenn m<n, z.B. . Für diese Fälle ist keine sinnvolle Polynomdivision mehr möglich.
b) unecht gebrochen, wenn m³n, z.B.
. Bei den unecht gebrochenen Funktionen lassen sich ganzzahlig Vielfache herausdividieren (durch Polynomdivision mit Rest): .
Die horizontalen Asymptoten der gebrochenrationalen Funktionen ergeben sich wie folgt:
a) m<n: die gebrochenrationale Funktion ist echt gebrochen. Der Graph nähert sich der Gerade y=0 (x-Achse) an für x®±¥.
b) m=n: Entscheidend sind die Koeffizienten im größten Glied von Z(x) und N(x): ist am der Koeffizient im Glied amxm (der Funktion Z(x)) und bn der Koeffizient im Glied bnxn (der Funktion N(x)), so nähert sich der Graph der horizontalen Asymptote an, z.B.
. Diese Funktion hat zwei vertikale Asymptoten bei xp1/p2=±2. Die horizontale Asymptote ist y=2, da (Abbildung 1-5).
c) m>n: Für die Funktionswerte des Graphen gilt y®±¥, wenn x®±¥. Durch Polynomdivision läßt sich der ganzzahlige Anteil der Funktion herausdividieren, so daß eine genauere Aussage über das Verhalten möglich ist. Dieser ganzzahlige Anteil entspricht der Asymptote, der sich der Graph für x®±¥ annähert; denn der echt gebrochene Rest geht dann gegen Null, z.
B. . Diese Funktion nähert sich also für x®±¥ der Normalparabel y=x2 an, während der Ausdruck gegen Null strebt. Für m=n+1 hat der Graph eine schiefe Asymptote: die Funktion hat die Asymptote y=x, da nach dem Herausziehen des ganzzahlig Vielfachen die Funktionsgleichung wie folgt lautet:
Hyperbeln oder Potenzfunktionen mit ganzzahligem negativen Exponenten
Besonders häufig sind gebrochenrationale Funktionen mit Z(x)=k (z.B. k=1) und N(x)=ax+b: .
Sie haben genau eine Polstelle bei , die sich aus N(x)=0 ergibt.
Tabelle 3 Eigenschaften der Potenzfunktion y=xn mit n<0 (Hyperbeln)
Exponent
Gerade (n=2m)
Ungerade (n=2m+1)
Definitionsbereich
xÎÂ\{0}
xÎÂ\{0}
Wertebereich
yÎ(0;¥)
yÎÂ\{0}
Symmetrie
gerade Funktion
ungerade Funktion
Stetigkeit
unstetig bei x=0
unstetig bei x=0
Monoton fallend für
xÎ(0;¥)
xÎÂ\{0}
Monoton steigend für
xÎ(-¥;0)
- - - - - -
Gemeinsame Punkte
P2(-1;1)
P1(1;1)
P1(1;1)
P3(-1;-1)
Asymptoten
x-Achse
y-Achse
x-Achse
y-Achse
Beispiel: Diese Funktion stellt graphisch eine Hyperbel dar, die allgemein als f(x)=1/(xn) mit nÎN definiert sind.
G
1/x ist eine Hyperbel ersten Grades, 1/x2 eine Hyperbel zweiten Grades usw. Ist n gerade, so ist auch die Hyperbel gerade, anderenfalls ungerade (Abbildung 2-3b-c).
Irrationale Funktionen
Wurzelfunktionen
Quadratwurzelfunktionen
Quadratwurzelfunktionen sind allgemein definiert als . Wir betrachten zuerst den einfachen Fall n=1.
Dann wird jedem x diejenige positive Zahl zugeordnet, die mit sich selbst multipliziert x ergibt. So wird z.B. dem Wert x=4 der Wert y=|2| zugeordnet. In der Praxis ergibt sich dann nach Auflösen der Betragsstriche die doppelte Lösung y=±2. Dieses Problem zeigt sich auch, wenn wir die Quadratwurzelfunktionen als Umkehrfunktionen der quadratischen Funktionen bilden:
ist die Umkehrfunktion zu g(x)=x2 mit xÎÂ.
mit (x-c)>0 ist die Umkehrfunktion zu k(x)=(x-b)2+c.
g(x) und k(x) sind quadratische Funktionen und stellen im Koordinatensystem Parabeln dar. Diese Parabeln sind weder streng monoton fallend noch steigend, demzufolge auch nicht eindeutig umkehrbar (jedem y-Wert wird nicht nur ein x-Wert zugeordnet). So nimmt g(x) z.B. als y-Wert 4 für x=-2 oder x=+2 an (s.
o.). Die Umkehrung darf jedoch nicht zweideutig sein, wenn es sich um eine Funktion handeln soll. Deshalb werden Quadratwurzelfunktionen meist als positiver Teilast definiert, d.h. bei der Normalquadratwurzel () werden den x-Werten nur die positiven Lösungen (s.
o.) zugeordnet. In anderen Worten: die zu invertierende quadratische Funktion g(x)=x2 wurde nur für den streng monoton wachsenden Teilbereich [0;+¥) definiert (Abbildung 2-4).
Bei einer anderen Quadratwurzelfunktion k(x) wird der Teilast, der oberhalb des Scheitelpunktes ist, als Definitionsmenge festgelegt. Anders ausgedrückt: es wird wieder nur das streng monoton wachsende Intervall als Dk definiert.
Beispiel:
Die Funktion ist die Umkehrfunktion zu f(x)=x2+2.
f(x) ist eine Parabel. Wir definieren das Monotonieinterval [2;+¥), das dann die Wertemenge von g(x) bildet. g(x) ist für alle xÎÂ mit x³2 definiert und stetig (s.u.), und zwar fär die jeweils positive Lösung der Wurzel, also der Teilast, der von [2;0) (dem Scheitelpunkt) aus nach oben wandert und durch die Punkte (3;1), (6;2) usw. geht (Abbildung 2-4d-f).
Quadratwurzelfunktionen sind nur für positive Radikanden definiert, d.h. die Definitionsmenge muß so gewählt werden, daß der Radikand ³ 0 ist, denn jede reelle Zahl ergibt mit sich selbst multipliziert wieder eine positive Zahl. Im Definitionsbereich sind Quadratwurzelfunktionen stetig.
Abbildung 2-4 Potenz- und Wurzelfunktionen
Kubikwurzelfunktionen
Kubikwurzelfunktionen sind definiert als . Sie sind für ganz  definiert und stetig.
Denn die Kubikwurzel ist im Gegensatz zur Quadratwurzel für positive und negative Werte definiert: 23=8 und (-2)3=-8 (Abbildung 2-4g).
Transzendente Funktionen
T
ranszendent sind alle Funktionen, die sich nicht durch algebraische Gleichungen ausdrücken lassen.
Winkel-, Kreis,- oder Trigonometrische Funktionen
Dies sind die Funktionen sin x, cos x, tan x, cot x (Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens) (Abbildung 2-7). Diese Funktionen beruhen alle auf dem rechtwinkligen Dreieck. Dort gibt es drei Winkel (a, b, g), die Hypotenuse c (die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite des Dreiecks) und die zwei Katheten a und b. Letztere werden noch einmal unterteilt in Ankathete (die dem Winkel a anliegende Kathete) und die Gegenkathete (die dem Winkel gegenüberliegende Kathete) (Abbildung 2-5).
Abbildung 2-6 Allgemeine Darstellung der trigonometrische Funktionen
a)
b)
c)
d)
Abbildung 2-7 Trigonometrische Funktionen im Einheitskreis
a) Sinus; b) Cosinus; c) Tangens; d) Kotangens
Zeichnet man diese Funktionen vom Einheitskreis ausgehend, wodurch beliebige Winkelgrößen möglich werden, so erhält man einen periodischen Verlauf (vgl. Abbildung 2-7 bzw Abbildung 2-6): Sinus und Kosinus sind für 2p (bzw. 360°), Tangens ist für p (bzw. 180°) periodisch. Das bedeutet mathematisch ausgedrückt:
sin(x+2kp)=sinx, kÎZ
cos(x+2kp)=cosx, kÎZ
tan(x+kp)=tanx, kÎZ
Gewöhnlich wird der Winkel im Bogenmaß, also in Einheiten von p, gerechnet, so daß statt des Winkels a die Variable x verwendet wird, und die trigonometrischen Funktionen auch für Bereiche außerhalb des rechtwinkligen Dreiecks benutzt werden können, wo sie ja auch auftreten (elektrischer Strom, Wirtschaftswachstum, sonstige Zyklen). Definitionsmenge von Sinus und Kosinus ist Â.
Die Wertemenge ist W={y|-1<y<+1}. Definitionsmenge vom Tangens ist Â\{±p/2+2kp} kÎZ, d.h. ohne die Lösungswerte für cos x=0. Wertemenge ist Â.
Einige Sinus- und Cosinus-Werte lassen sich relativ einfach merken, da eine einfache Systematik zugrundeliegt, wenn die Wurzelschreibweise gewählt wird:
Tabelle 4 Zusammenstellung bestimmter Winkelwerte
x
sin(x)
cos(x)
0°
30°‘p/6
=
45°‘p/4
60°‘p/3
=
90°‘p/2
Ebenso einfach kann man sich die Beziehungen zwischen den einzelnen trigonometrischen Funktionen herleiten:
Tabelle 5 Umrechnung zwischen den einzelnen trigonometrischen Funktionen
gegeben ðgesucht Ê
sin a
cos a
tan a
cot a
sin a =
sin a
cos a =
cos a
tan a =
tan a
cot a =
cot a
Arcus-Funktionen
Dies sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen: arcsin x, arccos x usw.
Und zwar wird einem Seitenverhältnis ein Winkel zugeordnet (bei den Winkelfunktionen war es genau umgekehrt!). Da die trigonometrischen Funktionen periodisch sind, sind sie nicht eindeutig umkehrbar. Deshalb werden die Umkehrfunktionen auch nur für einen streng monotonen Teilbereich der Kreisfunktionen definiert. Der ist für sin x und tan x:, für cos x und cot x: I=[0;p] (Abbildung 2-8).
Abbildung 2-8 Die trigonometrischen Umkehrfunktionen
Die Definitionsmengen für die einzelnen Funktionen lauten:
arcsin x und arccos x: D={x|-1<x<1};
arctan x und arccot x: D={x|-¥<x<+¥}=Â.
Für die Wertemengen gilt:
arcsin x und arctan x: W={y|-p/2<y<p/2};
arccos x und arccot x: W={y|0<y<p}.
Werden Lösungen für diese Funktionen angegeben, so werden die aus der Wertemenge berücksichtigt, also für arcsin 1=p/2, aber für arcsin(-1)=-p/2 und nicht der Wert 3/2p, da er außerhalb der Wertemenge liegt. Den richtigen Wert liefert auch der Taschenrechner, indem man das Seitenverhältnis, hier also “-1” eintippt und INV-SIN drückt. Je nach Stellung der DRG-Taste erscheint nun -90° (Stellung auf DEG) oder -1,570797...‘-p/2 (Stellung auf RAD).
G
Für die trigonometrischen Funktionen gelten folgende Symmetrieeigenschaften:
a) sin x=sin(p-x)
cos x=cos(2p-x)
b) sin x ist ursprungssymmetrisch: sin(-x)=-sin(x)
cos x ist y-Achsensymmetrisch: cos(-x)=cos(x).
Abbildung 2-9 Darstellung der Basislösungen
Daher findet man zu jedem Wert (außer -1 und 1) zwei Basislösungen (Abbildung 2-9b).
Beispiele:
Die Basislösungen für sin x=1/2 {entspricht x=arcsin(1/2)} sind x=p/6 und x'=p-x=5/6p; die Basislösungen für cos x=1/2 {entspricht x=arccos(1/2} sind x=p/3 und x'=-p/3. Vergleiche dazu auch die Abbildung 2-9;
Möchte man alle möglichen Lösungen angeben, so ermittelt man die Lösung aus der Wertemenge, bildet die zweite Basislösung, also x', und addiert dann zu beiden 2kp für Sinus und Kosinus, kp für Tangens, kÎZ.
Beispiele:
a) Für sin x=1 (bzw. x=arcsin 1) folgt, daß der Sinuswert gleich 1 ist, wenn x =p/2.
Die vollständige Lösung lautet dann x=p/2+2kp, kÎZ. Denn 1=sin(p/2)=sin(5/2p)=sin(9/2p)=... (Abbildung 2-9).
b) Für cos x=0 (bzw.
x=arccos 0) folgt, daß der Kosinuswert gleich 0 ist, wenn x=p/2 (Funktionswert der Arcusfunktion). Die zweite Basislösung lautet x'=-p/2 (d.h. -x=x'). Die vollständige Lösung ist nun: x=p/2+2kp v x=-p/2+2kp, kÎZ (Abbildung 2-9).
Exponential-, Logarithmus und Hyperbelfunktionen
Exponentialfunktionen
Exponentialfunktionen sind definiert als f(x)=ax, aÎÂ+\{1}.
Definitionsmenge ist Â. Als Wertemenge ergibt sich Â+. Die Funktionen sind stetig und streng monoton.
G
Ist die Basis a<1 , so ist f(x)=ax streng monoton fallend, ist a>1, dann ist f(x)=ax streng monoton steigend (Abbildung 2-11).
Alle Exponentialfunktionen gehen durch den Punkt [0;1], denn jede Basis potenziert mit der Zahl Null ergibt nach Definition Eins (Abbildung 2-10).
Abbildung 2-10 Exponentialfunktionen
Häufig wird als Basis die Eulersche Zahl e genommen.
Sie hat vor allem in der Naturwissenschaft eine große Bedeutung. Diese Exponentialfunktion heißt daher natürliche Exponentialfunktion: f(x)=ex (Abbildung 2-10c). Grundsätzlich gilt jedoch. daß sich jede Potenz der einen Basis in eine mit einer anderen Basis umrechnen läßt:
Logarithmusfunktionen
Logarithmusfunktionen sind die Umkehrfunktionen zu den Exponentialfunktionen und definiert als f(x)=loga x (Logarithmus von x zur Basis a); aÎÂ+\{1}. Jedem x wird die Zahl zugeordnet, mit der a potenziert x ergibt. D.
h. log10100=2, da 102=100! Die Definitionsmenge ist Â+, die Wertemenge ist Â. Zwischen Logarithmus- und Exponentialdarstellung gilt folgende Äquivalenz
Abbildung 2-11 LogarithmusfunktionenLogarithmusfunktionen sind streng monoton und zwar fallend für a<1 und monoton steigend für a>1 (Abbildung 2-11). Es gibt häufig gebrauchte Basen, nämlich 2 (Dualsystem), die “natürliche Basis” e und 10 (Dezimalsystem).
G
Alle Logarithmusfunktionen gehen durch den Punkt P(1;0) (Abbildung 2-11).
Die Funktionalgleichung der Logarithmusfunktionen lautet: log(x1·x2)=log x1+log x2 und somit f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).
f(x)=logax und g(x)=log1/ax liegen symmetrisch zur x-Achse (Abbildung 2-11e).
Hyperbolische Funktionen
Die Funktionen Hyperbolischer Sinus, Hyperbolischer Kosinus usw. (sinh x, cosh x usw.) sind für unser Schulwissen nicht relevant, dafür um so mehr im naturwissenschaftlichen Bereich. Sie werden mit Hilfe von Exponentialfunktionen zur Basis e definiert:
Die anderen Funktionen (tanh x, coth x, usw.) bilden sich wie bei den normalen trigonometrischen Funktionen.
Auf ihre Anwendungen, ihre Graphen und ihre Umkehrfunktionen braucht hier nicht weiter eingegangen werden.
Verknüpfte Funktionen
M
an kann Funktionen zu Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten verknüpfen und so neue Funktionen bilden. Ist z.B. f(x)= 2x-3 und g(x)=x2+1, so erhalten wir:
Verkettete Funktionen
D
ie Funktion f(x) einer Funktion g(x) wird bezeichnet als f(g(x))=(f°g)(x). f ist die äußere und g die innere Funktion.
Ist f(x)=x2 und g(x)=sinx so ist (f°g)(x)=sin2x.
Achtung! f°g ist nicht das gleiche wie g°f! Das wäre nämlich in obigem Beispiel (g°f)(x)=sin(x2)!
Elementare Funktionen
A
ls elementar werden alle Funktionen bezeichnet, die aus einer endlichen Anzahl von Verknüpfungen und Verkettungen aus transzendenten und algebraischen Funktionen bestehen. Dabei muß die Funktionsgleichung für die ganze Definitionsmenge gleich sein, die Funktionsgleichung also geschlossen, d.h. aus einer Gleichung bestehen. Alle bisher besprochenen Funktionen sind elementar.
Nicht-Elementare Funktionen
E
ine häufig angewendete, nicht-elementare Funktion ist die sogenannte Betragsfunktion: f(x)=|x| (Abbildung 2-12a). Diese Funktion besteht praktisch aus zwei elementaren Funktionen auf zwei verschiedenen Intervallen:
Zwei weitere ähnliche nicht-elementare Funktionen sind die Signumfunktion f(x)=sgn(x) und die Gaußklammerfunktion f(x)=[x].
Signum (x) ordnet einem negativem x den Wert -1, einem positivem x den Wert +1 und dem x-Wert Null den y-Wert Null zu. Diese Funktion wird z.B. benötigt, wenn man nur das Vorzeichen eines Wertes braucht.
Die Betragsfunktion läßt sich mit Hilfe der Signumfunktion einfach definieren als f(x)=x×sgn(x) definieren.
Die Gaußklammer ordnet x die größte ganze Zahl zu, die nicht größer ist als x. Ein Beispiel für die Anwendung dieser Funktion ist die Gebührenberechnung beim Telefonieren. Nach einer bestimmten Zeiteinheit springt die Rechnung eine Gebühr höher. Ist z.B.
eine Einheit 8 Minuten, so zahlt man für ein Drei-Minutengespräch genauso viel wie für ein 7 Minutengespräch, für ein 9 Minutengespräch hingegen bereits das Doppelte.
Da diese beiden Funktionen wie die hyperbolischen nur für den erweiterten Mathematikunterricht wichtig sind, folgen an dieser Stelle keine weiteren Erklärungen! Lediglich die Graphen der Funktionen sind in Abbildung 2-12 dargestellt.
Funktionsveränderungen
E
s gibt einfache Methoden, die Graphen von “normalen” Funktionen aus dem vorhergehenden Kapitel zu verändern. Dazu gehören insbesondere das Strecken, Stauchen, Spiegeln und Schieben.
Die vertikale Verschiebung
D
iese kann anschaulich auch als “Fahrstuhleffekt” bezeichnet werden; denn der Graph von f(x) wird mit Hilfe einer zusätzlichen additiven Konstante C nach oben bzw. nach unten (C negativ) verschoben, d.
h. in y-Richtung. Die um C nach oben verschobene Funktion g(x) lautet dann: g(x)=f(x)+C. Diese Schreibweise ist allgemein üblich, verkennt jedoch, daß die Konstante C ausschließlich auf die Variable y Einfluß hat, so daß folgende Schreibweise für das Verständnis sinnvoller wäre: g(x)-C=f(x).
Man könnte “C” anschaulich mit einem Fahrstuhl vergleichen, der die Ausgangsfunktion mit C=0 in einem Hotel (das Koordinatensystem) hinauf und hinunter fährt. Dabei verändert sich das allgemeine Verhalten des Graphen in den einzelnen Punkten nicht.
Die horizontale Verschiebung
D
iese Verschiebung kann anschaulich als “Zimmernummereffekt” bezeichnet werden, denn der Graph von f(x) wird in x-Richtung verschoben, indem alle x in der Funktionsgleichung durch (x-a) ersetzt werden. Der Graph wird dann um a nach rechts verschoben (a>0) bzw. nach links verschoben (a<0). Anders ausgedrückt: bei z.B. (x-3) wird der Graph nach rechts verschoben, bei (x+3) nach links.
) Die um a nach rechts verschobene Funktion g(x) lautet: g(x)=f(x-a). In unserem anschaulichen Hotelvergleich wäre a dann die Zimmernummer auf derselben Etage.
Spiegelung an den Koordinatenachsen
A
n der x-Achse gespiegelt wird der Graph ganz einfach durch einen Vorzeichenwechsel der jeweiligen Funktionswerte (Abbildung 3-1):
g(x)=-f(x). Z.B. f(x)=x2 und g(x)=-x2 .
Der Graph kann natürlich auch an der y-Achse gespiegelt werden: g(x)=f(-x). Z.B. f(x)=x3 und g(x)=(-x)3 (Abbildung 3-1).
Streckung und Stauchung
E
s gibt die Möglichkeit einen Funktionsgraphen in y-Richtung (von der x-Achse aus) und in x-Richtung (von der y-Achse aus) zu verändern. Dabei wird zwischen Strecken (Auseinanderziehen) und Stauchen (Zusammenschieben) unterschieden.
Streckung oder Stauchung in Richtung der y-Achse
Eine solche Veränderung geht immer von der x-Achse aus, und zwar nach oben wie unten. Erreicht wird dies in Richtung der y-Achse durch einen Faktor a vor der Funktionsgleichung: h1(x)=a×f(x).
G
Der Graph wird in Richtung der y-Achse gestreckt, wenn |a|>1 ist. Er wird gestaucht, wenn |a|<1 ist. Ist a negativ, so findet zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse statt (Abbildung 3-2).
Streckung und Stauchung in Richtung der x-Achse
Eine Konstante k vor allen x streckt oder staucht den Funktionsgraphen in Richtung der x-Achse von der y-Achse aus nach rechts und links: h2(x)=f(k x).
G
Der Graph wird in Richtung der x-Achse gestreckt, wenn |k|>1. Der Graph wird gestaucht, wenn |k|<1 ist. Ist k negativ, so findet wieder zusätzlich eine Spiegelung an der y-Achse statt.
Abbildung 3-3 Strecken und Stauchen bei Sinusfunktionen
Beispiele
Normalparabel
Sehr schön läßt sich das Schieben und Strecken an der Normalparabel zeigen. Es ist bekanntlich möglich, jede beliebige quadratische Funktion mit dem führenden Koeffizienten 1 (also die Normalform x2+px+q) auf die Normalparabel zurückzuführen, womit der Graph dann einfach zu zeichnen ist. f(x)=x2 ist die Funktionsgleichung der Normalparabel (Abbildung 2-4a).
Wird dieser Graph in y-Richtung verschoben, so gilt: g1(x)=x2+c. Der in x-Richtung verschobene Graph hingegen lautet g2(x)=(x-a)2. Der Graph der Funktion g3(x)=(x-a)2+c ist die um a nach rechts und um C nach oben verschobene Normalparabel. Der Scheitelpunkt der Normalparabel liegt bei S(a;c) (Abbildung 3-1). Der Graph jeder quadratischen Funktion in der Normalform ist eine verschobene Normalparabel. Es bedarf geringer algebraischer Umformungen, um die Normalform einer quadratischen Gleichung auf die Scheitelpunktform zu bringen, die der obigen Form entspricht: f(x)-c=(x-a)2.
Man bringt die Normalform auf die Scheitelpunktform mit Hilfe einer quadratischen Ergänzung. Bei der Umformung wurde die erste binomische Formel (a+b)2=a2+2ab+b2 angewandt.
Mit einer Normalparabel-Schablone kann jetzt ohne weiteres die Funktion im Koordinatensystem gezeichnet werden!
Beispiele:
f(x)=x2+4x+4. Dies ist ein vollständiges Quadrat, d.h. die binomische Formel kann direkt angewendet werden: f(x)=(x+2)2.
Als Scheitelpunkt ergibt sich also S(-2;0).
g(x)=x2+6x+4 ist kein vollständiges Quadrat. In der quadratischen Ergänzung addieren und subtrahieren wir wegen 6x=2·3·x das Quadrat von 3, also 32 bzw. 9. Dies gibt dann x2+2·3·x+32-32+4=(x+3)2-5 Þ g(x)+5=(x+3)2 und daraus folgend S(3;-5).
Mit unserem “Hotelmodell” ergibt sich anschaulich folgende Darstellung:
f(x) ist eine Normalparabel in Zimmer Nummer 2 auf der LINKEN SEITE (da negativ) im ERDGESCHOSS.
g(x) (eine Normalparabel) ist in Zimmer Nummer 3 auf der RECHTEN SEITE (da positiv) im fünften UNTERGESCHOSS (da negativ). (Abbildung 2-13c)
In der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung muß der führende Koeffizient a nicht notwendigerweise gleich 1 sein (z.B. y=5x2+20x+22). Die Graphen einer solchen Funktion sind allgemeine Parabeln. Sie unterscheiden sich von der Normalparabel dadurch, daß sie breiter oder schmaler (gestaucht oder gestreckt) und/oder sogar nach unten geöffnet sind.
Entscheidend hierfür ist besagter führender Koeffizient a:
a>0 Parabel nach oben geöffnet
a<0 Parabel nach unten geöffnet
0<|a|<1 Parabel breiter als Normalparabel
|a|>1 Parabel schmaler als Normalparabel
Man kann nun durch Ausklammern auch eine allgemeine quadratische Funktion auf die
Scheitelpunktform bringen:
Der Koeffizient 5 sagt aus, daß die Parabel schmaler als die Normalparabel sein muß, sie ist also sozusagen dünner (Abbildung 3-2b). Und zwar geht der Graph, wenn man vom Scheitelpunkt in x-Richtung eine Einheit nach Rechts geht, fünf Einheiten nach oben (in y-Richtung). Allgemein gilt, daß ausgehend vom Scheitelpunkt bei Dx=1 genau Dy=a Einheiten nach oben oder unten (wenn a negativ) zu gehen sind.
Beispiel Sinusfunktion
Auch die Sinus-Funktion ist ein gutes Beispiel für solche Funktionsveränderungen. Am häufigsten sind dabei Amplitudenänderungen, Frequenzänderungen und Phasenänderungen.
Abbildung 3-4 Amplituden-, Frequenz, und Phasenänderung bei einer Sinusfunktion
Amplitudenänderungen
Die Amplitude ist die maximale Ausdehnung der Sinusfunktion in y-Richtung.
Diese ist von f(x)=sin x bekanntlich gleich 1. Das bedeutet, die Wertemenge ist {y|-1<y<1}. Soll nun die Amplitude größer oder kleiner werden, so wird die Konstante a vor den Sinus gesetzt: g1(x)=a×sin x. Die Amplitude ist jetzt a, die Wertemenge ist {y|-a<y<a}, z.B. g1(x)=4×sin x (Abbildung 3-3a).
Frequenzänderungen
Die Periodendauer einer Schwingung bezeichnet, in welchen Abständen sich der Graph der Funktion wiederholt. Die Periode von f(x)=sin x ist 2p. Um die Periode zu ändern, wird das x einfach mit einem Faktor b multipliziert: g2(x)=sin(bx). Die Periode ist dann 2p/b, für y=sin(2x) also gleich p (Abbildung 3-3b). Je größer b wird, desto kleiner wird die Periode. Die Sinuskurve wird schmaler, d.
h. der Graph wird in x-Richtung gestaucht. Ist b hingegen kleiner als 1, dann wird die Sinuskurve breiter, d.h. der Graph wird in x-Richtung gestreckt.
Horizontale Verschiebung (Phasenänderngen)
Phasenänderungen ändern den Startpunkt der Perioden der Sinusfunktion, anders ausgedrückt, sie verschieben die Sinusfunktion in x-Richtung.
Hier gilt das gleiche wie bei allen anderen Funktionen: Die um c in x-Richtung (nach rechts) verschobene Sinusfunktion lautet g3(x)=sin(x-c), z.B. g3(x)=sin(x-p) (Abbildung 3-3c).
Abbildung 3-5 Horizontale Verschiebung (Phasenänderung) einer Sinusfunktion
Vertikale Verschiebung (Fahrstuhl)
Natürlich gibt es auch die Verschiebung mit dem “Fahrstuhl”: g4(x)-d=sin x, z.B. g4(x)-1=sin x (Abbildung 3-4a).
Kombination von Strecken und Verschieben
G
Die Funktion f(x)=a sin(bx-c)+d ist die um c/b (siehe unten) nach rechts und um d nach oben verschobene Sinusfunktion mit der Periode 2p/b und der Amplitude a. Die Definitionsmenge ist  und die Wertemenge W={y|-a<y<a}, z.B. f(x)=2 sin(2x-p)+1.
Zu beachten ist, daß hier die Verschiebung in x-Richtung nur p/2 beträgt, denn da alle x durch (x-c) ersetzt werden müssen, also beide, denn es heißt ja 2x, steht eigentlich da: . Mit anderen Worten, das “b” muß ausgeklammert werden (Abbildung 3-4b).
Die anderen trigonometrischen Funktionen
Tangens und Kotangens
Beim Tangens (und Kotangens) ist die Periode im Gegensatz zur Sinusfunktion nur halb so groß, nämlich p/b. h1(x)=tan(2x) hat dann eine Periode von p/2 (Abbildung 3-6a). Die Wertemenge ist Â, d.h. die Konstante a streckt (wenn größer als 1) bzw. staucht (wenn kleiner als 1) den Graphen in y-Richtung; der Begriff der Amplitude kann hier nicht angewandt werden.
Abbildung 3-6 Strecken und Stauchen bei der Tangensfunktion
Die oben beschriebenen Veränderungen gelten auch für die anderen trigonometrischen Funktionen.
Nullstellen
N
ullstellen sind die Punkte, an denen der Graph einer Funktion die x-Achse schneidet oder berührt. Solche Nullstellen sind in der Analysis für das Verständnis von Funktionsverläufen sehr wichtig. Nullstellen werden prinzipiell ermittelt, indem man die Funktionsgleichung gleich Null setzt, denn wenn der Graph die x-Achse schneidet oder berührt, ist der Funktionswert y=f(x)=0. Nullstellen werden mit dem x-Wert angegeben (der y-Wert ist bei einer Nullstelle immer Null). Dieser x-Wert heißt x0 oder xn.
Gibt es mehrere Lösungen für 0=f(x), z.B. a, b, c usw., so werden sie mit x0=a v x0=b v x0=c usw. angegeben. Es ist auch möglich die verschiedenen Nullstellen durch xn1, xn2, xn3 usw.
zu kennzeichnen.
Die Vielfachheit einer Nullstelle unterscheiden wir nach einfachen und mehrfachen Nullstellen. Hat man zum Beispiel ein Produkt, bei dem mehrere der Faktoren für einen x-Wert x0 sind, so spricht man von einer mehrfachen Nullstelle. Diese Unterscheidung ist deshalb so wichtig, weil sich daraus ergibt, ob der Graph die x-Achse schneidet oder nur berührt.
Bei einfachen und ungeradzahlig mehrfachen (also zum Beispiel dreifachen) Nullstellen, findet ein Vorzeichenwechsel statt; die x-Achse wird geschnitten. Bei geradzahlig mehrfachen Nullstellen (also z.
B. doppelten), findet kein Vorzeichenwechsel statt; die x-Achse wird lediglich berührt, z.B f(x)=x2 . Dies ist ein Produkt: x2=x×x. Dadurch daß beide Faktoren in der Umgebung von Null ihr Vorzeichen wechseln, bleibt es immer positiv (oder negativ, falls -x2 vorliegt). Die x-Achse wird also nur berührt, der Graph hat links und rechts von x=0 das gleiche Vorzeichen (Abbildung 4-1).
f(x)=x3=x×x×x hat bei x=0 eine dreifache Nullstelle, an x=0 finden also drei Vorzeichenwechsel gleichzeitig statt. Der Graph schneidet wegen der ungeradzahligen Häufigkeit die x-Achse, aus negativen (links von x=0) werden positive (rechts von x=0) Funktionswerte (Abbildung 4-1).
Rationale Funktionen
Potenzfunktionen mit positiven Exponenten
Ist f(x) eine Potenzfunktion mit positivem Exponenten, z.B. f(x)=axr, rÎÂ+, r¹0, so gibt es genau eine Lösung für f(x)=0, nämlich x0=0.
Allgemeine ganzrationale Funktionen
Eine ganzrationale Funktion hat höchstens so viele Nullstellen, wie hoch ihr Grad ist.
Eine ganzrationale Funktion dritten Grades also höchstens drei. Die Nullstellen der Polynom-Funktionen ermittelt man häufig durch faktorisieren. Und zwar ist das durch das Faktorisieren entstehende Produkt immer dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Dies bedeutet, um die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion ermitteln zu können, müssen wir die Funktionsgleichung solange faktorisieren (falls möglich!), bis wir für jeden einzelnen Faktor erkennen können, wann dieser gleich Null ist.
Konstante und Lineare Funktionen
Für die konstanten und linearen Funktionen ist die Nullstellenbestimmung kein Problem, hier reichen einfache Äqivalenzumformungen.
Konstante Funktionen f(x)=k können zwangsweise nur dann Null werden, wenn die Konstante k selbst gleich Null ist.
Der Funktionsgraph entspricht dann der x-Achse. Lineare Funktionen werden durch Geradengleichungen beschrieben und können einfach umgestellt werden:
Quadratische Funktionen
Um die Nullstelle einer quadratischen Funktion f(x)=ax2+bx+c zu ermitteln, muß man sie erst einmal auf die Normalform bringen, also den Koeffizienten a ausklammern:
Die Normalform der quadratischen Gleichung erfordert zwingend, daß der erste Koeffizient (vor dem x2) gleich +1 lautet! Ist die Normalform ein vollständiges Quadrat (2.1.1.1.2 Allgemeine Ganzrationale Funktionen), so kann man sie zu (x-z)2 faktorisieren und hat genau eine doppelte Nullstelle bei x=z.
Ist die Normalform kein vollständiges Quadrat, so muß die sogenannte pq-Formel angewandt werden, die bereits in Kapitel 3.5.1 Normalparabel prinzipiell hergeleitet wurde. Die Anzahl der möglichen reellen Lösungen ergibt sich durch einfache Überlegung. Eine quadratische Gleichung in Parabelform kann die x-Achse entweder gar nicht schneiden (keine Nullstelle), zweimal schneiden (zwei Nullstellen) oder berühren (eine doppelte Nullstelle).
Herleitung der pq-Formel
Wieviele Lösungen es gibt, erfährt man durch die Diskriminante, die dem Radikanden entspricht:
Es gibt drei Möglichkeiten:
a) D>0: Jetzt muß die pq-Formel angewandt werden.
Es gibt genau zwei Lösungen.
b) D=0: Die Funktionsgleichung ist ein vollständiges Quadrat. Jetzt gibt es genau eine Lösung. Der Scheitelpunkt des Graphen liegt auf der x-Achse. Die Nullstelle kann mit Hilfe der binomischen Formeln ermittelt werden (s.o.
).
c) D<0: Dann gibt es keine Lösung, da wir in der p-q-Formel die Wurzel aus der Diskriminante ziehen werden, und man keine Wurzel aus negativen Zahlen ziehen kann. Der Funktionsgraph befindet sich oberhalb der y-Achse
Beispiele:
f(x)=-x2-6x-5. Da die Nullstellen gesucht sind, folgt 0=-x2-6x-5. Um auf die Normalform zu kommen, wird die Gleichung durch (-1) dividiert! 0=x2+6x+5. Die pq-Formel liefert jetzt folgende Ergebnisse:
Die Funktion selbst hat ihren Scheitelpunkt bei S(-3;4) oberhalb der x-Achse.
Da die Parabel jedoch nach unten geöffnet ist, schneiden sehr wohl beide Äste die x-Achse, nämlich bei PN1(-1;0) und PN2(-5;0) (Abbildung 4-1a).
Einen Sonderfall gibt es noch, wenn der Koeffizient b=0 ist, also f(x)=ax2+c. Dann ergeben sich folgende Nullstellen:
Funktionen dritten und höheren Grades
Sehr viel schwieriger wird es bei ganzrationalen Funktionen höheren Grades. Hier hilft es meistens nur, die Funktionsgleichung in Faktoren zu zerlegen, die aus quadratischen, linearen oder konstanten Gliedern bestehen. Letzten Endes wird uns nur die Polynomdivision weiterhelfen, dazu brauchen wir aber erst einmal mindestens eine Nullstelle xn1. Dann kann man nämlich die Polynomfunktion durch (x-xn1) teilen.
Mögliche ganzzahlige Lösungswerte für f(x)=0 sind auf jeden Fall ganzzahlige Teiler (positiv wie negativ) des konstanten Gliedes (a0). Ist z. B. a0=6, so entstammen ganzzahlige Lösungen der Menge {-6;-3;-2;-1;1;2;3;6}. Wenn man jetzt alle diese Werte einsetzt, bekommt man unter Umständen eine Nullstelle heraus. Das ist dann der Startwert xn1!
Allgemeine Hinweise zur Vorgehensweise:
a) Meistens ist es praktischer, den führenden Koeffizienten auszuklammern, er beeinflußt danach die Nullstellenberechnung nicht mehr.
b) Hat die Funktionsgleichung kein konstantes Glied, so ist eine Lösung auf jeden Fall x0=0. Dieses x kann dann ausgeklammert werden, z.B.
f(x)=4x3+8x2+4x= 4x(x2+2x+1)=4x(x+1)2.
Die Nullstellen lauten dann xn1=-1 (doppelt, wegen des Quadrats) und xn2=0 (einfach) (Abbildung 4-1b).
c) Manchmal lassen sich Funktionen höheren Grades nach den binomischen Formeln (sogenannte biquadratische Funktionen) zusammenfassen, z.
B.
f(x)=x4+2x2+1= (x2+1)2.
Die jeweils doppelten Nullstellen liegen bei x=±1.
d) Funktionen höheren Grades lassen sich manchmal nach polynomischen Formeln faktorisieren. Genannt seien hier die trinomischen Formeln:
(x+a)3=x3+3ax2+3ax2+a3
(x-a)3=x3-3ax2+3a2x-a3
(x+a) (x2-ax+a2)=x3+a3
(x-a) (x2+ax+a2)=x3-a3
e) Manchmal hilft einem auch das Pascalsche Dreieck weiter, mit dem sich die übrigen polynomischen Formeln höheren Grades fortsetzen lassen. Es ist aber schon Glückssache, gerade die Koeffizienten aus dem Pascalschem Zahlendreieck in der Funktionsgleichung zu haben, z.
B.
f(x)=x4+4x3+6x2+4x+1=(x+1)4
1 (a+b)0=1
1 1 (a+b)1=a+b
1 2 1 (a+b)2=a2+2ab+b2
1 3 3 1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
1 4 6 4 1 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
1 5 10 10 5 1 (a+b)5=...
1 6 15 20 15 6 1 (a+b)6=..
.
usw.
f) Wenn keine der oben angegebenen Möglichkeiten in Betracht kommen, müssen numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung angewendet werden!
Gebrochenrationale Funktionen
Die Nullstellen ermitteln sich wie bei den ganzrationalen Funktionen. Entscheidend ist nur der Zähler; ist dieser gleich Null, so ist auch die Funktion für diese x-Werte gleich Null. Es ist jedoch darauf zu achten, daß die Nullstellen Teil der Definitionsmenge, also nicht gleichzeitig Nullstellen des Nennerpolynoms sind!
Wurzelfunktionen
E
ine Wurzel ist dann gleich Null, wenn der Radikand gleich Null ist. Dies ergibt sich schon aus der Tatsache, daß die Wurzeln bekanntlich Teil der Potenzfunktionen sind:
Trigonometrische Funktionen
B
ei den “einfachen” trigonometrischen Funktionen lassen sich die Nullstellen ohne Probleme berechnen:
f(x)=sin x: x0=kp, kÎZ (geradzahlige Vielfache von p)
f(x)=cos x: (ungeradzahlig Vielfache von p/2)
f(x)=tan x: x0=kp, kÎZ (geradzahlige Vielfache von p)
Treten die trigonometrischen Funktionen in Kombination mit anderen oder untereinander auf, so müssen meistens mehrere der Formeln für die trigonometrischen Funktionen angewandt werden, die man jeder mathematischen Formelsammlung oder dem Anhang entnehmen kann.
Häufig reicht es aber auch, sich zu überlegen, wie der Graph verändert wurde und den Graphen zu zeichnen.
Exponential- und Logarithmusfunktionen
G
Alle Exponentialfunktionen in der Form f(x)=ax haben keine Nullstelle.
Alle Logarithmusfunktionen der Form f(x)=logax haben die Nullstelle x0=1.
Funktionen, die aus Kombinationen von Exponential- und Logarithmusfunktionen auftreten, sind meistens nur numerischen Verfahren zugänglich!
Numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung
D
ie beiden bekanntesten numerischen Verfahren sind das Verfahren nach Newton (Tangentennäherungsverfahren) und die Regula-Falsi (Sekantennäherungsverfahren). Man nennt sie Iterationsverfahren, weil sie mit jeweils einem neuen Startwert so lange wiederholt werden, bis sich ein gefundener Wert nur noch geringfügig vom vorherigen unterscheidet. Zuerst wählt man einen grundsätzlich beliebigen Startwert, eine sogenannte Wurzel (am besten geschieht dies nach dem Sturmschen Satz).
Dann werden in einer Iteration mit Hilfe von Tangenten bzw. Sekanten immer neue Wurzeln ermittelt, die der tatsächlichen Nullstelle schließlich bis auf die gewünschte Genauigkeit nahe kommen. Diese Iteration kann in einem Hornerschen Schema ausgedrückt werden.
Abbildung 5-1 Numerische Bestimmung von Nullstellen
Das Verfahren von Newton
F
ür das Newtonsche Verfahren braucht man nur einen Startwert x1. Legt man nun an den Graphen am Punkt P(x1;f(x1)) eine Tangente (Gerade) an, so schneidet sie die x-Achse in größerer Nähe von x0 als x1 (Abbildung 5-1). Einzige Bedingung ist, daß der Funktionswert von x1 und die “Beschleunigung” von f(x1), also f''(x1) das gleiche Vorzeichen haben.
Der Ansatz für die Iteration ergibt sich aus Abbildung 5-1:
Der einzige Nachteil des Verfahrens ist, daß bei komplizierten Funktionen nicht unbedingt die erste Ableitung der Funktion bestimmt werden kann.
Die Regula-Falsi
F
ür das Regula-Falsi-Verfahren werden zwei x-Werte benötigt, zwischen denen jedoch die gesuchte Nullstelle liegen muß. Diese x-Werte seien x1 und x2, dann ist der Näherungswert x3. Der Ansatz ergibt sich wieder einfach aus Abbildung 5-1:
Dieses Verfahren wird solange wiederholt, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.
Beispiele
Kurvendiskussion 1
Gegegeben sei folgende Funktion f: x®
1. Maximaler Definitionsbereich: x Î Â, da f(x) eine ganzrationale Funktion.
2. Schnitt- und Berühungspunkte mit den Achsen:
a) y-Achse: Bedingung f(0)=y0 (x muß 0 sein!); y0=0 Þ Py(0;0). Dadurch automatisch auch Schnitt- oder Berührungspunkt mit der x-Achse
b) x-Achse: Begingung f(x0)=0;
x0=0 wegen des Quadrats doppelte Nullstelle, also ein Berührungspunkt, der zugleich ein relatives Extremum sein muß. Aufgrund der Funktionswerte in der Umgebung von x=0 (negative Werte) ergibt sich ein rel
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