Portfolio der
PORTFOLIO DER
MATHEMATIK
PLANIMETRIE
Aaron Oberlerchner, Lukas Streicher, 5c Vöcklabruck, am 7.6.2001Inhaltsverzeichnis
1.1 Der Begriff „Planimetrie“
1.2 Entstehung der Geometrie
1.3 Die wichtigsten Begriffe der Geometrie kurz erklärt
1.
4 Berühmte Griechische Geometer
2.1 Das Dreieck
2.2 Dreiecks-Arten
2.3 Allgemein
2.3.1 Winkelsumme im Dreieck
2.
3.2 Der Umkreis beim Dreieck
2.3.3 Der Inkreis beim Dreieck
2.3.4 Die Seitenhalbierenden beim Dreieck
2.
3.5 Die Höhen beim Dreieck - Thaleskreis
2.3.6 Das gleichseitige Dreieck
2.3.7 Berechnung der Höhen im gleichseitigen Dreieck
2.
3.8 Berechnung der Flächen im gleichseitigen Dreieck
2.3.9 Dreieckssätze
2.3.10 Heronsche Flächenformel
3.
1 Das Viereck
3.2 Vierecks-Arten
3.2.1 Das Quadrat
3.2.2 Das Rechteck
3.
2.3 Das Parallelogramm
3.2.4 Die Raute
3.2.5 Das Trapez
3.
2.6 Das Drachenviereck
4.1 Das regelmäßige Sechseck
5.1 Das regelmäßige n-Eck
6.1 Der Kreis
6.2 Berechnungen am Kreis
6.
2.1 Kreisumfang
6.2.2 Flächeninhalt eines Kreises
6.2.3 Flächeninhalt eines Kreisrings
6.
2.4 Flächeninhalt eines Kreissektors
6.2.5 Flächeninhalt eines Kreissegments
6.2.6 Länge eines Kreisbogens
6.
3 Berechnung von p mittels der Monte Carlo Integration
Der Begriff Planimetrie
Planimetrie ist ein Teilgebiet der Geometrie. Geometrie ist griechisch und bedeutet Erdmessung. Die Planimetrie behandelt alle ebenen Flächen (Dreieck, Quadrat, Kreis...) und deren Gesetzmäßigkeiten und Größenbeziehungen von Punkten, Linien und Flächen.
Die Planimetrie wird schon seit Tausenden von Jahren von den Menschen erforscht und genutzt.
Auch heute wird die Planimetrie fast überall gebraucht und auch genutzt.
Entstehung der Geometrie
Der Ursprung der Geometrie ist bei den Ägyptern zu finden. Diese glaubten, der Erfinder der Geometrie sei ihr Gott Thot.
Die Geometrie wurde bei den Ägyptern für Berechnungen von Feldern, Tempelbauten und sogar für die Pyramiden genutzt. Die allerfrüheste Geometrie beschäftigte sich aber ausschließlich mit der Messung und Verteilung von Ländern.
Ein gutes Beispiel hierzu:
Der Ägyptische König Sesotris schenkte jedem seiner Bürger ein gleich großes Stück Land, in Form eines Vierecks. Da aber der Nil oft große Teile überschwemmte oder gar wegriss, schickte der König jedes mal Abgesandte, welche die Länder neu vermessen mussten.
Das ist zwar jetzt nur ein Beispiel von vielen und vielleicht stimmt es auch gar nicht, aber ich denke, dass sich die Geometrie aus solchen oder ähnlichen Situationen entwickelt haben muss. Fest steht aber, dass sich die Geometrie aus einem Bedarf heraus entwickelt hat.
Die Ägypter waren in der Geometrie mehr praktisch als theoretisch veranlagt gewesen. Das ging soweit, dass sie von den Griechen sogar „Seilspanner“ genant wurden.
Die Griechen verachteten die Ägypter aber keineswegs sondern bewunderten sie viel mehr.
So übernahmen auch viele Griechische Geometer ägyptische Konstruktionen. Die Ägyptische Geometrie war aber noch keine Wissenschaft, sie war eher der Rohstoff für die Weiterentwicklung der Griechen. Den Ägyptern fehlte es an Axiomen (=absolut richtigen Grundsätzen die keinen Beweis benötigen) und der Zusammenfassung vieler Spezialfälle unter einem allgemeinen Gesichtspunkt.
Die Beseitigung dieser Mängel ist ein wichtiger Verdienst griechischer Geometer.
Eines der wichtigsten Werke über Geometrie ist das Werk „Elemente“ von Euklid (365-300 v.
Chr.) dem sog. Vater der Geometrie. Es ist ein Werk, welches 15 Bücher über Geometrie beinhaltet. Die ersten Vier Bücher handeln von der Planimetrie. Die Geometrie bedarf zu aller erst einfacher Grundsätze, welche Axiome oder Elemente der Geometrie heißen.
Beispiele - ein Punkt ist was keine Teile hat
- eine Linie ist eine breitenlose Länge
- eine Fläche ist, was nur Breite und Länge hat
und deswegen sind die Grenzen einer Fläche
Linien
- jeder Punkt lässt sich mit jedem anderen Punkt,
durch eine Linie verbinden
Die wichtigsten Begriffe der Geometrie, kurz erklärt
Gerade
Geraden haben einen Anfangs- aber keinen Endpunkt, also auch keine Länge.
Man bezeichnet Geraden mit kleine Buchstaben, häufig g.
Winkel
Ein Winkel ist die Vereinigung zweier Halbgeraden p, q mit gemeinsamen Anfangspunkt. Den Anfangspunkt, den Scheitel bezeichnet man mit dem Buchstaben S. Bei einem Winkel nennen wir denjenigen Schenkel den ersten Schenkel, der bei einer Linksdrehung um den Scheitel den Winkel überstreicht; der andere Schenkel heißt zweiter Schenkel.
Strecke
Eine Strecke ist durch ihre zwei Endpunkte eindeutig bestimmt.
So lassen sich gewisse geometrische Aufgaben rechnerisch lösen. Strecken werden mit den Großbuchstaben PQ und einem Strich, der für die Strecke steht, darüber.
Strahl
Ein Strahl hat keinen Anfangs- und Endpunkt. Demnach ist er unendlich lang.
Berühmte griechische Geometer
Einer der ersten griechischen Geometer war Thales von Milet (640-548v. Chr.
).
Er beschäftigte sich mit vielen Naturwissenschaften unter anderem auch mit der Planimetrie.
Ein Entdeckung von ihm ist, dass jedes Dreieck in einem Halbkreis ein rechtwinkeliges ist (Satz von Thales). Eine andere Leistung des Thales ist die Bestimmung des Abstands eines ankommenden Schiffes zum Hafen.
Eine andere wichtige Person in der griechischen Geschichte ist Phythagoras.(580-500v.
Chr.) Von ihm stammt der berühmte Beweis a2+b2=c2 .Der unterschied zu Thales ist der, das Phythagoras den Wissenszweig der Geometrie in eine wirkliche Wissenschaft umwandelte.
Phythagoras hat die Geometrie von der Praxis abgehoben und als rein theoretische Wissenschaft behandelte.
Ein weiterer Geometer ist der Lehrer Platons Timaios. Auf ihn geht die geometrische Proportion zurück, welche Thales und auch den Ägyptern mit großer Wahrscheinlichkeit noch nicht bekannt war.
Die Planimetrie war nun schon weit entwickelt worden. Flächen wie z.B. Kreis, Dreieck und Quadrat waren genau erforscht worden und durch die Flächenvergleichung und der Proportionen waren auch Hilfsmittel für eine weiter metrische Untersuchung vorhanden.
Der Schüler Platon von Timaios wehrte sich seinerzeit gegen die aus der Praxis entlehnten Verfahren. Angeblich hatte er über seiner Tür geschrieben „Kein der Geometrie Unkundiger trete unter mein Dach!“.
Die Geometrie wurde von diesem Zeitpunkt an von jedem als eine Wissenschaft behandelt.
2.1 Das Dreieck
2.2 Dreiecks-Arten
Die Unterscheidung von Dreiecken ist nach Winkelarten möglich...
oder nach den Seitenverhältnissen...
Diese beiden Kriterien lassen sich auch kombinieren...
2.3 Allgemein
2.3.1 Winkelsumme im Dreieck
a + b + g = 180°
2.3.2 Der Umkreis beim Dreieck
Die Mittelloten der Seiten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt M, dem Mittelpunkt des Umkreises
2.
3.3 Der Inkreis beim Dreieck
Die Endpunkte D, E ,F der Winkelhalbierenden sind nur im Ausnahmefall (gleichseitiges Dreieck) zugleich die Berührungspunkte des Inkreises mit den Dreiecksseiten.
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt O, dem Mittelpunkt des Inkreises
2.3.4 Die Seitenhalbierenden beim Dreieck
Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt S, dem Schwerpunkt des Dreiecks.
Sie teilen sich dabei gegenseitig im Verhältnis 2:1.
2.3.5 Die Höhen beim Dreieck – Thaleskreis
Der Thaleskreis wird dazu verwendet um die Höhenlinien besser konstruieren zu können und ist der Ortsbogen für rechte Winkel.
Die Höhenlinien schneiden einander in einem Punkt H, dem Höhenschnittpunkt.
2.3.
6 Das gleichseitige Dreieck
Beim gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten und Winkel gleichgroß (a = 60°).
Es sind auch die
„besonderen Linien“ identisch.
Höhenlinien
= Mittelsenkrechte
= Seitenhalbierende
= Winkelhalbierende
Umfangsformel
2.3.7 Berechnung der Höhen im gleichseitigen Dreieck
2.3.
8 Berechnung der Fläche im gleichseitigen Dreieck
2.3.9 Dreieckssätze
Satz des PHYTHAGORAS
a² + b² = c² a, b … Katheten c … Hypotenuse
(nur im rechtwinkeligen Dreieck)
Innenwinkelsatz
In jedem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel 180°.
Außenwinkelsatz
Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Winkel.
Dreiecksungleichungen
In jedem Dreieck ist die Summe zweier Seiten größer als die dritte Seite.
Satz von Morley
Wenn man die Dreieckswinkel drittelt entsteht im Inneren eines beliebigen Dreiecks ein gleichseitiges Dreieck.
Napoleon Dreieck
Wenn man auf die Seite irgend eines Dreiecks drei gleichseitige Dreiecke setzt und deren Zentren verbindet so entsteht immer ein gleichseitiges Dreieck.
Ähnlichkeitssätze
·Wenn zwei Dreiecke in zwei Winkeln übereinstimmen, so sind sie
einander ähnlich.
·Wenn zwei Dreiecke in einem Winkel übereinstimmen und wenn die anliegenden Seiten gleiche Verhältnisse bilden, so sind die Dreiecke einander ähnlich.
·Wenn jede Seite eines Dreiecks mit je einer Seite eines anderen Dreiecks gleiche Verhältnisse bildet, so sind die Dreiecke einander ähnlich.
·Wenn zwei Seiten eines Dreiecks mit je einer Seite eines anderen gleiche Verhältnisse bilden und wenn die beiden Dreiecke in dem Winkel übereinstimmen, der der jeweils größeren der beiden Seiten gegenüberliegt, so sind die Dreiecke einander ähnlich.
Mittelsenkrechte
In jedem Dreieck schneiden sich die Mittelsenkrechten in einem Punkt.
( im rechtwinkeligen Dreieck ist M Mittelpunkt der Hypotenuse;
im spitzwinkeligen Dreieck liegt M innerhalb des Dreiecks;
im stumpfwinkeigen Dreieck liegt M außerhalb des Dreiecks )
Höhen
In jedem Dreieck schneiden sich die Höhen in einem Punkt.
( im rechtwinkeligen Dreieck ist H der Scheitel des rechten Winkels;
im spitzwinkeligen Dreieck liegt H innerhalb des Dreiecks;
im stumpfwinkeigen Dreieck liegt H außerhalb des Dreiecks )
Erforderliche Axiome
Phythagoreischer Lehrsatz
a2 + b2 = c2
Umfang:
a + b + c = 2s
Beweis für ein spitzwinkeliges Dreieck
Flächenformel
Höhe ermitteln
p einsetzen
Binomische Formeln
Durch gleichsetzen erhält man p
P berechnen
einsetzen
In die Flächenformel
3.1 Das Viereck
3.2 Vierecks-Arten
Das Quadrat
Alle Seiten sind gleichgroß, gegenüberliegende Seiten zueinander parallel.
Alle Winkel sind gleichgroß ( rechte Winkel ).
Diagonalen ( gleichgroß und zueinander rechtwinklig ) halbieren sich.
Das Rechteck
Gegenüberliegende Seiten sind zueinander parallel und gleichgroß.
Alle Winkel sind gleichgroß ( rechte Winkel )
Diagonalen ( gleichgroß ) halbieren sich.
Das Parallelogramm
Gegenüberliegende Seiten sind zueinander parallel und gleichgroß.
Gegenüberliegende Winkel sind gleichgroß.
Diagonalen halbieren sich.
Die Raute
Alle Seiten sind gleichgroß.
Gegenüberliegende Seiten sind zueinander parallel.
Gegenüberliegende Winkel sind gleichgroß.
Diagonalen ( zueinander rechtwinklig ) halbieren sich.
5. Das Trapez
Ein Seitenpaar ist zueinander parallel
Das Drachenviereck
Es gibt zwei Seitenlängen.
Ein Paar gegenüberliegender Winkel ist gleichgroß.
Diagonalen sind zueinander rechtwinklig und eine Diagonale ( an den gleichgroßen Winkeln ) wird halbiert.
3.2.1 Das Quadrat
Alle Seiten sind gleichlang,
gegenüberliegende Seiten
zueinander parallel.
a = b = c = d
Alle Winkel sind gleichgroß,
und somit jeweils rechte Winkel.
Die Diagonalen sind gleichlang,
verlaufen senkrecht zueinander
und halbieren sich.
Die Figur hat einen Umkreis
und Inkreis.
Flächen-Berechnung
A = a · b
Weil a und b gleichlang sind
Gilt auch A = a · a
Diagonalen-Berechnung
3.2.2 Das Rechteck
Gegenüberliegende Seiten sind
gleichlang und parallel zueinander.
a = c und b = d
Alle Winkel sind gleichgroß,
und somit jeweils rechte Winkel.
Die Diagonalen sind gleichlang,
und halbieren sich.
Die Figur hat einen Umkreis
und Inkreis.
Flächen-Berechnung
Diagonalen-Berechnung
3.2.3 Das Parallelogramm
Gegenüberliegende Seiten
sind zueinander parallel
und gleichlang.
a = c und b = d
Gegenüberliegende Winkel
sind gleichgroß.
Somit gilt:
Flächen-Berechnung
Durch Verschieben eines Teildreiecks erhält man das Rechteck mit demselben Flächeninhalt a · h
Diagonalen-Berechnung
3.
2.4 Die Raute
Gegenüberliegende Seiten
sind gleich lang.
Alle Seiten sind gleich lang.
Gegenüberliegende Winkel sind
gleich groß.
Somit gilt:
Flächen-Berechnung
3.2.
5 Das Trapez
Ein Seitenpaar ist zueinander
parallel ( hier a // c).
Alle Winkel sind unterschiedlich groß.
Die Diagonalen haben keine besonderen Eigenschaften.
Die Figur hat keinen Inkreis
und Umkreis
Flächen-Berechnung
Diagonalen-Berechnung
3.2.6 Das Drachenviereck
Der Drachen hat zwei verschiedene Seitenlängen.
Zwei Gegenwinkel haben dieselben Größe.
Das Drachenviereck hat einen
Inkreis aber keinen Umkreis
Flächen-Berechnung
4.1 Das regelmäßige Sechseck
Ein regelmäßiges Sechseck besteht aus insgesamt 6 gleichseitigen Dreiecken.
Umkreisradius a
Inkreisradius hD
Formel des gleichseitigen Dreiecks
Berechnung der Fläche im Sechseck
5.1 Das regelmäßige n-Eck
Regelmäßige n-Ecke sind drehsymmetrisch unter einem Winkel von
Sie bestehen aus insgesamt n gleichschenkligen Dreiecken.
Gleichschenkliges Dreieck
Umkreisradius r
6.
1 Der Kreis
Der Abstand von der Kreislinie zum Mittelpunkt ist von jedem Punkt aus gleich groß. Man nennt diesen Abstand Radius (lat. Stab, Speiche, Strahl)
6.2 Berechnungen am Kreis
6.2.1 Kreisumfang
6.
2.2 Flächeninhalt eines Kreises
6.2.3 Flächeninhalt eines Kreisrings
6.2.4 Flächeninhalt eines Kreissektors
6.
2.5 Flächeninhalt eines Kreissegments
6.2.6 Länge eines Kreisbogens
6.3 Berechnung von p mittels der Monte Carlo Integration Es soll die Kreiszahl p mit der MC-Integration berechnet werden. Dazu denken wir uns ein Quadrat mit der Kantenlänge a, in dem sich ein Kreis mit dem gleichen Durchmesser a befindet.
Wir können nun die Formeln für die Flächen des Quadrates und des Kreises hinschreiben und diese ins Verhältnis setzenMan kann diese Gleichung so umstellen, daß man eine Beziehung zwischen p und dem Verhältnis der Flächen erhält
Zur Berechnung der Verhältnisses der Flächen wird nun eine Monte Carlo Integration eingesetzt. Man geht dazu wie folgt vor:
mit einem Zufallszahlen-Generator wird ein x- und ein y-Wert zwischen 0 und a ,,gewürfelt''
mit der Pythagoras-Gleichung wird überprüft, ob der gewürfelte Punkt (x,y) im Kreis liegt oder außerhalb
die Treffer im Kreis werden gezählt
diese Prozedur wird sehr oft wiederholt
Die Gesamtzahl aller Schüsse entspricht der Fläche des Quadrates und die Zahl der Treffer im Kreis entspricht der Kreisfläche. Man erhält dann für pDas folgende Diagramm zeigt, wie sich der so berechnete Wert von p mit zunehmender Zahl von Schüssen verändert. Man sieht, dass sich die MC-Integration mit zunehmender Zahl an Schüssen langsam dem exakten Wert für p (horizontale Linie) annähert. Den exakten Wert für p würde man nach unendlich vielen Schüssen erhalten.
Der aus diesem Lauf erhaltende Wert für p=3.
14388 (der exakte Wert für p wäre:p =3.1415).
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