Fourierintegral:
Akustik
Inhaltsverzeichnis
1 Wellengleichungen 2
1.1 Herleitung der Wellengleichung in zwei Dimensionen 2
1.1.1 Schwingungen einer Membran 2
1.1.2 Zweidimensionale Wellengleichung 4
1.
2 Herleitung der Wellengleichung in drei Dimensionen 4
(Wellengleichung in der Akustik)
2 Wellenarten 7
2.1 Ebene Wellen 7
2.2 Kugelwellen 7
3 Akustischer Stromkreis 8
3.1 Ersatzschaltung 8
3.2 Nah- und Fernfeld 9
4 Schallintensität (Schallstärke) 10
5 Literaturverzeichnis 11
Akustik
1 Wellengleichungen
1.1 Herleitung der Wellengleichung in zwei Dimensionen
1.
1.1 Schwingungen einer Membran
w=w (x,y,t) . . . Rückstellkraft der Membran in z-Richtung
q=q (x,y,t) . .
. auf der Membran lastende Druck in z-Richtung
T . . . Vorspannung (Kraft pro Längeneinheit)
µ . .
. Massendichte (Masse pro Flächeneinheit)
c . . . Ausbreitungsgeschwindigkeit
In der Gleichgewichtslage ruht die Membran in der x-y-Ebene, sie steht unter einer gleichmäßigen Vorspannung T. Die Rückstellkraft w (x,y,t) ist dabei nur durch die Vorspannung T gegeben.
Bei einer Membran ist die Biegefestigkeit vernachlässigbar klein.
Für die Membran mit den Seitenlängen Dx und Dy gilt dann:
Kräftezerlegung:
(1)
durch Division durch DxDy erhält man:
(2)
der Grenzübergang Dx®0, Dy®0 ergibt:
(3)
(4)
Erklärung des Rechenschrittes:
geg.:
Einführung von c:
Dimensionsbetrachtung: ü
(5)
Nabla-Operator:
Nabla2 :
(6)
1.1.2 Zweidimensionale Wellengleichung
Die Gleichung (6) mit q (x,y,t)=0 wird als zweidimensionale Wellengleichung bezeichnet, sie ist die allgemeine Form der eindimensionalen Wellengleichung.
1.
2 Herleitung der Wellengleichung in drei Dimensionen
(Wellengleichung in der Akustik)
p=p (x,y,z,t) . . . Druck der Flüssigkeit
r=r (x,y,z,t) . . .
Dichte der Flüssigkeit
. . . Geschwindigkeit eines materiellen Punktes der Flüssigkeit (auch Schnelle)
. . .
Beschleunigung eines materiellen Punktes der Flüssigkeit
Y=Y (x,y,z,t) . . . Geschwindigkeitspotential (auch Schnellenpotential)
Zur Herleitung der Wellengleichung in drei Dimensionen wird eine Flüssigkeit betrachtet, die durch ihren Druck p=p (x,y,z,t) und ihrer Dichte r=r (x,y,z,t) charakterisiert sind. Es wird in idealisierter Form angenommen, daß die Flüssigkeit keine Schubspannungen zuläßt und damit Impuls- und Massenerhaltung in dem geschlossenen System gelten.
Impulserhaltung:
(1)
Der Richtungsableitung der Maximaländerung (bzw.
-Steigung) des Drucks p ist die negative Beschleunigung der Dichte.
mit
Die vektorielle Beschleunigung ist die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit eines materiellen Punktes in der Flüssigkeit.
Die konstanten Größen p0 und r0 entsprechen dem Ruhedruck bzw. der Ruhedichte, die zeitabhängigen Größen (x,y,z,t) und (x,y,z,t) entsprechen der im Normalfall deutlich kleineren Druckänderung bzw. Dichteänderung.
(2)
Der Ausdruck (x,y,z,t) ist gegenüber r0 vernachlässigbar klein, beim Differenzieren von p (Gradientenbildung) fällt das konstante p0 weg, so daß man die linearisierte Form der Gleichung (1) erhält.
Massenerhaltung:
(3)
Die Divergenz der mit der Geschwindigkeit behafteten Dichte ergibt eine Dichteänderung, welche definiert ist mit:
Die linearisierte Form der Gleichung (3) erhält man in Analogie zu (2):
(4)
Zusammenhang zwischen p und r:
Einführung von c:
Dimensionsbetrachtung: ü
Eingesetzt in (4):
(5)
Es wird das Geschwindigkeitspotential (bzw. -Schnellenpotential) Y eingeführt, welches in (5) eingesetzt wird:
(6)
woraus
(7) folgt.
was wiederum in (4) eingesetzt auf folgendes führt:
(8)
Nabla Operator:
2 Wellenarten
2.1 Ebene Wellen
Die allgemeine Lösung für die obige Wellengleichung lautet:
wobei F1 und F2 Funktionen der Zeit sind (F1= F1(t), F2= F2(t)).
Physikalisch gesehen bedeutet diese Funktion folgendes:
Der erste Ausdruck stellt eine Wellenbewegung in positiver x-Richtung dar. Der Wert dieses Ausdrucks ist für x=x0 und t=0 gleich , zu einer späteren Zeit t=t1 wird x=x0+ct1, so daß der Funktionswert wieder der selbe ist.
D.h. die Störung mit dem Wert x0 ist in der Zeit t1 mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c nach x0+ct1 gewandert. F2(x+ct) stellt eine in negativer x-Richtung fortschreitende Welle dar, die Überlegung dafür sind analog zum ersten Summanden.
Der Verlauf der Funktionen F1(t) und F2(t) hängt von der Form der Druckstörung ab. Für den Fall, daß die Druckstörung durch eine sinusförmig schwingende Membran erregt wird (vgl.
Bild), bekommt die Lösung die Form
an.
Die Sinuswelle mit der Amplitude k läuft in der positiven x-Richtung mit der Geschwindigkeit c. Die Welle ist eine Longitudinalwelle, die Teilchenverschiebung erfolgt in Fortpflanzungsrichtung.
2.2 Kugelwellen
Ist sie Störungsstelle im Medium klein gegenüber der Wellenlänge, so handelt es sich um eine punktförmige Schallquelle, bei der sich die Druckstörungen kugelsymmetrisch ausbreiten.
Wellengleichung für Kugelwellen:
Die partikuläre Lösung hat die Form:
Die kugelförmige Ausbreitung, darstellbar durch kugelförmige Flächen konstanten Drucks (Isobare), verursacht eine Amplitude, die mit der Entfernung r um den Faktor 1/r abnimmt.
Allgemein kann man sagen, daß die meisten Schallquellen als Kugelstrahler anzusehen sind.
3 Akustischer Stromkreis
Der Schallwechseldruck p und die Schallschnelle v entspringen als Größen der kugelförmigen Wellenausbreitung ein und derselben Quelle. In Analogie zum Ohm’schen Gesetz kann man nun dem Schalldruck die Bedeutung einer Wechselspannung , der Schnelle diejenige eines Wechselstromes zuordnen. Als dritte Größe ist ein komplexer Strahlungswiderstand einzuführen, an den die Schallquelle ihre Srahlungsenergie in der Form von Wirk- und Blindleistung abgibt.
3.1 Ersatzschaltung
Für eine Kugelwelle um eine Schallquelle der Druckamplitude p0 gilt:
Die Gleichungen beschreiben eine sich in radialer Richtung ausbreitende Kugelwelle, bei der der Druck mit 1/r und die Schnelle mit 1/r2 zur Entfernung abnehmen.
3.2 Nah- und Fernfeld
Die Schnelle v eilt im Nahbereich dem Schallwechseldruck p um den Phasenwinkel j=arctan1/rk nach. In unmittelbarer Nähe der Schallquelle, d.h. r>>l (Entfernung zur Schalquelle viel kleiner als Wellenlänge), ist der Realteil gegenüber dem Imaginärteil vernachlässigbar.
Außerhalb des Nahbereiches, wo sich Schallwechseldruck und -Schnelle nahezu ohne gegenseitige Phasenverschiebung ausbreiten (j»0), d.
h. r<<l, läßt sich der Imaginärteil gegenüber dem Realteil vernachlässigen. Es entsteht nur ein Wirkanteil, die Erregung pflanzt sich als ebene Welle fort, für welche dann wieder die Gleichungen in 2.1 gelten.
4 Schallintensität (Schallstärke)
Die bei fortlaufenden Schallwellen in 1 Sekunde durch eine zur Schallrichtung senkrechte Fläche von 1m2 durchtretende Energiemenge nennt man Schallintensität, auch Schallstärke. Die Schallintensität ist eine vektorielle Größe (im Gegensatz zum Schalldruck, der lediglich einen Skalar darstellt).
Der Mittelwert des mit der Geschwindigkeit bewegten Schalldrucks p ergibt den Schalldruck .
Bei sinusförmigen Signalverläufen kann die komplexe Schreibweise eingeführt werden, für den Fernbereich gilt dann:
Für eine bestimmte Richtung r:
5 Literaturverzeichnis
Svoboda/Trieb, Physik, Band1 Oldenbourg Verlag Wien
F. Trendelenburg, Einführung in die Akustik, 3. Auflage, Springer Verlag
P. Hagedorn, Technische Schwingungslehre, Band 2, Springer Verlag
G. Schmidt, Akustik, C.
Heymanns Verlag Berlin
D. Franz, Elektroakustik, Franzis Verlag, München
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