Frequenzmodulation
Frequenzmodulation
Inhaltsverzeichnis:
1. Mathematische Zusammenhänge bei FM 3
1.1 Zusammenhang Winkel und Frequenz 3
1.2 Die Zeigerdarstellung 4
1.3 Herleitung des Spektrums der FM 4
1.3.
1 Phasenhub Df<<1 5
1.3.1 Phasenhub Df beliebig 5
2. Bandbreite der FM 6
3. Schmalbandmodulation (Df£1) 7
4. Breitbandmodulation (Df>1) 8
5.
Erzeugung der FM 8
5.1 LC-Oszillator mit Kapazitätsdiode 8
5.2 Quarzoszillator 9
6. Erzeugung der PM 9
6.1 PLL 10
7. Demodulation 10
7.
1 L-Diskriminator 10
7.2 Flankendiskriminator 10
7.3 Gegentaktflankendiskriminator 11
7.4 Ratiodedektor (Verhältnisdiskriminator) 12
8. Eigenschaften der FM 12
8.1 Störungen 13
8.
1.1 Pre- und Deemphasis 13
8.2 Vor- und Nachteile gegenüber der AM 13
9. Quellenangabe 13
1. Mathematische Zusammenhänge bei FM
1.1 Zusammenhang Winkel und Frequenz
w=w(Signal) j=j(Signal)
FM PM
Df.
......
Frequenzhub
Df......
Phasenhub (entspricht dem Modulationsindex h)
Der Frequenzhub ist proportional zur Lautstärke.
Frequenzmodulation bedeutet in Wirklichkeit eine Änderung der Nulldurchgänge der Trägerschwingung und damit des Phasenwinkels. Daher ist FM als Winkelmodulation aufzufassen. Bild 1.1zeigt, daß bei konstanter Kreisfrequenz wt der Winkel linear ansteigt: j=wTr t. Bei sinusförmiger Frequenzmodulation nimmt der Winkel cosinusförmig zu (ersichtlich aus der obigen Ableitung).
Bild 1.1.1 Zusammenhang Frequenz und Winkel
Der Unterschied zwischen einer Phasenmodulation und einer Frequenzmodulation liegt nur im technischen Verfahren der Erzeugung.
Die Zeigerdarstellung
Der Zusammenhang zwischen Frequenz, Phasenwinkel und Phasenhub bzw. Modulationsindex soll auch noch mittels Zeigern veranschaulicht werden. Es soll der Zeiger einer modulierten mit dem einer unmodulierten Schwingung verglichen werden.
Der der unmodulierten Schwingung rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit wTr, so daß sein Phasenwinkel gleichmäßig zunimmt. Der Zeiger der FM-Schwingung läuft wegen seiner sich ändernder Frequenz schneller, oder langsamer als der unmodulierte. Dabei überholt er diesen, wenn seine Frequenz größer ist, oder er wird von diesem überholt, wenn seine Frequenz kleiner ist als die Trägerfrequenz. Der maximale Abstand vom unmodulierten Zeiger ist der maximale Phasenhub. Bei Voreilung ist er positiv, bei Nacheilung negativ. Eigenartig ist dabei, daß die Frequenz im Augenblick des Überholens am größten ist, bzw.
im Augenblick des Überholtwerdens am kleinsten, während im Augenblick größter positiver oder negativer Phasenabweichung beide Zeiger gleiche Frequenz haben. Dies bestätigt wieder, daß größter Frequenzhub und größter Phasenhub nicht gleichzeitig auftreten können,
Bild 1.2.1 FM-Zeiger
Herleitung des Spektrums der FM
Um das Spektrum herzuleiten geht man von der Grundformel der FM aus:
b
Unter Verwendung der Trigonometrischen Formel:
cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b
ergibt sich daraus:
Hier tritt der Cosinus einer Cosinusfunktion bzw. der Sinus einer Cosinusfunktion auf. Um zunächst zu einer einfachen Lösung zu gelangen, wird die Formel für Df<<1 ausgewertet.
Dann kann man nämlich für
cos(Df cos wSt) » 1,
und für
sin(Df cos wSt) » Df cos wSt
gesetzt werden.
Phasenhub Df<<1
Das zweite Glied der Klammer wird nun mit der trigonometrischen Formel
sin a cos b = +1/2 [ sin (a+b) + sin (a-b)]
noch weiter ausgerechnet, und man erhält
Dieser Ausdruck besagt, daß die FM-Schwingung (für Df<<1) sich aus den folgenden drei Schwingungen mit den Frequenzen:
-Trägerfrequenz (wTr)
-Summenfrequenz (wTr + wS)
-Differenzfrequenz (wTr - wS)
zusammensetzt.
Vergleicht man den mathematischen Ausdruck für die AM-Schwingung, so sind beide nahezu identisch.
Phasenhub Df beliebig
Dieser Fall läßt bei der Zeitfunktion der FM-Schwingung keine Auswertung mit einfachen mathematischen Mitteln zu. Die Auswertung führt zu den Besselfunktionen (s. Bild 1.
2.1.1). Es läßt sich die Zeitfunktion der Spannung folgendermaßen darstellen:
I0 cos wTr t
-I1 [sin (wTr + wS)t + sin (wTr - wS)t]
-I2 [cos (wTr + 2wS)t + cos (wTr - 2wS)t]
+I3 [sin (wTr + 3wS)t + sin (wTr - 3wS)t]
+...
.
Die Amplituden I0, I1,....In der Spektralanteile sind durch die Besselfunktionen gegeben.
Bild 1.2.1.1 Besselfunktionen
Bandbreite der FM
Bei der Frequenzmodulation entsteht ein unendlich breites Spektrum. Die Größe der einzelnen Spektralinien ist durch die Besselfunktion bestimmt. Nachdem der Gesamteffektivwert , berechnet aus den Besselfunktionen, immer den Wert 1 ergibt, bedeutet, daß bei der FM die Spannung unabhängig von der Modulation ist.
Die Information steckt in der Verteilung der Spektralinien. Will man ein FM-Signal übertragen, müssen alle wesentlichen Spektralinien übertragen werden. In der Praxis kennt man 2 Definitionen:
Die sogenannte 10% Bandbreite und die 1% Bandbreite. Die 10% (1%) Bandbreite bedeutet, daß alle Linien die kleiner als 10% (1%) des Gesamteffektivwertes weggelassen werden.
B10% = 2 fS (Df + 1)
B1% = 2 fS (Df + 1)
Schmalbandmodulation (Df£1)
Man spricht von der Schmalbandmodulation wenn der Phasenhub kleiner-gleich 1 ist.
Df£1
Ist der Phasenhub Df<0,5, so ergibt sich ein Spektrum mit einem Träger und zwei Seitenschwingungen, ähnlich dem AM-Spektrum.
Die Phase ist allerdings anders als bei AM.
Bild 3.1 Sektrum der Schmalbandmodulation (Df<0,5)
Mit zunehmenden Phasenhub Df>0,5 treten im Abstand der Signalfrequenz neue Seitenschwingungen auf. Mit zunehmenden Modulationsindex werden die Amplituden der Seitenschwingungen größer, wie das auch bei AM der Fall ist. Gleichzeitig aber wird, im Gegensatz zur AM, die Trägeramplitude kleiner.
Bild 3.
2 Sektrum der Schmalbandmodulation (Df>0,5)
Breitbandmodulation (Df>1)
Man spricht von der Breitbandmodulation wenn der Phasenhub größer 1 ist.
Df>1
Bild 4.1 Spektrum der Breitbandmodulation
Wie schon erwähnt wird die Trägeramplitude mit zunehmenden Modulationsindex kleiner, bis zu einem Minimalwert von 0 bei h=2,4. Vergrößert man den Modulationsindex weiter so nimmt der Träger wieder zu.
Erzeugung der FM
Bei FM wird die Frequenz und mit ihr der Winkel einer hochfrequenten Trägerschwingung im Rhythmus der niederfrequenten Signalschwingung geändert. Dabei bleibt die Amplitude konstant.
Man erreicht dies wegen
dadurch, daß man die Induktivität oder die Kapazität des frequenzbestimmenden Schwingkreises des Generators im Takt der Signalschwingung ändert. Im einfachsten Fall kann die Kapazität des Schwingkreises mit Hilfe eines Kondensatormikrofons oder einer Kapazitätsdiode beeinflußt werden.
5.1 LC-Oszillator mit Kapazitätsdiode
Bild 5.1.1 LC-Oszillator mit Kapazitätsdiode
Modulatoren mit Kapazitätsdiode sind Breitbandmodulatoren.
Eine wichtige Voraussetzung für eine hochwertige Modulation ist eine lineare Modulationskennlinie, d.h., es kann nur ein kleiner Teil der Diodenkennlinie (Bild 5.1.2) ausgenützt werden.
Bild 5.
1.2 Diodenkennlinie der Kapazitätsdiode
Die Frequenzkonstanz dieser Oszillatoren ist um den Faktor 10 schlechter als die von Quarzoszillatoren. Nur mit aufwendigen Regelschaltungen lassen sich FM-Breitbandmodulatoren mit Quarzgenauigkeit betreiben.
5.2 Quarzoszillator
Bei der Schmalbandmodulation ist eine Quarzsteuerung des Sendeoszillators durchführbar. Die notwendige Frequenzänderung wird durch Ziehen des Quarzes erreicht.
(Bild 5.2.1)
Bild 5.2.1 Ziehen eines Quarzes mit Kapazitätsdiode
Da der Ziehbereich des Quarzes relativ gering ist (ca. 5*10-4), muß meist eine Hubvergrößerung durch Frequenzvervielfachung erzielt werden.
Erzeugung der PM
Bei der PM wird im Gegensatz zur FM der Phasenwinkel und mit ihm die Frequenz verändert. Im einfachsten Fall erreicht man dies mit Hilfe einer PLL.
6.1 PLL
Bild 6.1.1 Erzeugung einer PM mit Hilfe einer PLL
Demodulation
Das Grundprinzip der Demodulation besteht darin, daß man das FM-Signal zuerst in ein AM-Signal umgewandelt und es anschließend demoduliert.
FM àAM àSignal
7.1 L-Diskriminator
Dieser FM-AM-Wandler nutzt den frequenzabhängigen Scheinwiderstand der Spule aus. Mit konstantem Strom I ergibt sich über U=jwL*I der Zusammenhang der Spannung und der Frequenz.
7.2 Flankendiskriminator
Die FM wird auf einen Resonanzkreis gegeben (Bild 7.2).
Der Resonanzkreis ist jedoch nicht auf die Trägerschwingung abgestimmt, sondern man arbeitet auf einer der beiden Flanken. Die sich ändernde Frequenz hat dadurch eine sich ändernde Amplitude zur Folge. Diese so entstandene AM wird gleichgerichtet.
Bild 7.2 Flankendiskriminator
Der Arbeitspunkt muß im linearen Bereich der Flanke, das ist beim Bandbreitenpunkt des Resonanzkreises liegen. Der maximale Frequenzhub muß kleiner sein als der Abstand Arbeitspunkt-Resonanzkreismaximum.
Verzerrungen entstehen durch den gekrümmten Verlauf.
7.3 Gegentaktflankendiskriminator
Um die Liniarität zu verbessern verwendet man einen Gegentaktflankendiskriminator. Diesen erhält man wenn man zwei Flankendiskriminatoren gegeneinander schaltet, deren Resonanzkurven gegeneinander versetzt sind. Der eine Resonanzkreis wird etwas oberhalb der oberen, der andere etwas unterhalb der unteren Bandgrenze des zu übertragenden Bandes abgestimmt. Nach der Gleichrichtung wird die Spannungsdifferenz gebildet.
Sie ist proportional zur gesendeten Informationsspannung.
Bild 7.3.1 Gegentaktflankendiskriminator
Bild 7.3.2 Resultierende Diskriminatorkennlinie
Der Vorteil des Gegentaktdiskriminators ist, daß sich die Nichtliniaritäten der gekrümmten Flanke zum Teil aufheben.
7.4 Ratiodedektor (Verhältnisdiskriminator)
Bild 7.4.1 Ratiodedector
Die Arbeitsweise des Ratiodedektor besteht darin, daß die Stromdifferenz nach der Gleichrichtung gebildet wird. Infolge der antiparallelen Lage der beiden Dioden fließen durch den gemeinsamen Widerstand R die Ströme I1 und I2 entgegengesetzt. Bei Mittenfrequenz sind U1 und U2 und somit auch I1 und I2 gleich groß, und es ist I1-I2=0.
Bei höherer Frequenz als der Mittenfrequenz überwiegt I2 und die Ausgangsspannung ist positiv, bei tieferer Frequenz als der Mittenfrequenz überwiegt I1 und die Ausgangsspannung ist negativ. Vorteil des Ratiodedektor ist seine Fähigkeit, plötzliche Störspannungen (Spannungsspitzen) zu unterdrücken. In einem solchen Fall lädt sich der große Kondensator C auf.
Eigenschaften der FM
Vervielfacht man ein frequenzmoduliertes Signal an einer Nichtliniarität, so entsteht ein periodisches Frequenzspektrum (Spektrum kommt in gleichen Abständen in gleicher Form wieder).
Bild 8.1 periodisches Frequenzspektrum
Diese Eigenschaft bietet den großen Vorteil, daß die Frequenz beliebig vervielfacht werden kann.
Wichtig dabei ist, daß vor und nach jeder TR-Stufe ein Filter sein muß.
8.1 Störungen
Untersuchungen der menschlichen Sprache zeigen, daß bedeutend weniger Höhen als Tiefen vorkommen. Dies bedeutet, daß die höheren Frequenzanteile durchwegs mit geringerer Amplitude gegenüber den tieferfrequenten Spektralkomponenten auftreten. Somit würden die Höhen besonders gestört werden.
Abhilfe bietet die Pre- und Deemphasis.
8.1.1 Pre- und Deemphasis
Um den Störabstand zu vergrößern ist es zweckmäßig die hohen Frequenzen bereits senderseitig durch einen größeren Frequenzhub stärker zu betonen. Man nennt dies Preemphasis (Emphase=Nachdruck oder Akzentuierung). Hierzu wird das Informationsspektrum vor der FM-Modulationsstufe mittels eines Netzwerkes mit frequenzabhängigem Amplitudengang so geändert, daß die hohen Frequenzen mehr verstärkt werden als die tiefen. Im Empfänger wird durch ein entsprechend gegenläufiges Netzwerk die Betonung der Amplituden hoher Frequenz wieder rückgängig gemacht (s.
Bild 8.1.1.1). Man spricht hier von Deemphasis oder Deakzentuierung. Das Deemphasisnetzwerk, daß nach dem Diskriminator kommen muß, dämpft damit auch die Störamplituden herunter, so daß der Störabstand über das ganze Band praktisch gleich bleibt.
Bild 8.1.1.1 Pre- und Deemphasis
Wichtig ist, daß Pre- und Deemphasis Netzwerk zueinander passen, damit innerhalb des Signalbandes kein Amplitudengang durch die Maßnahme entsteht. In der Rundfunktechnik geschieht die Deemphasis z.B.
durch einen RC-Tiefpaß. In der kommerziellen Technik wird hinsichtlich der Pre- und Deemphasis mehr Aufwand betrieben.
8.2 Vor- und Nachteile gegenüber der AM
Nachteil: große Bandbreite;
Rauschprobleme;
Vorteil: unempfindlicher gegenüber Störungen am Übertragungsweg;
Frequenz kann beliebig vervielfacht werden;
Quellenangabe
Modulationsverfahren, E. Stadler
Nachrichtentechnik, E. Herter / W.
Lörcher
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