Arithmetische folgen:
arithmetische Folgen:
Definition:
mit
Eigenschaften:
arithmetische Folge 1.Ordnung:
Bei arithmetischen Folgen der Ordnung k,
ist die k-te Differenzenfolge eine konstante Folge:
an d k+d 2·k+d 3·k+d.....
Dan k k k......
praktisches Bsp.:
Frage: Welche Ordnung hat die Folge :
an 1 0 1 4 9
Dan -1 1 3 5
D²an 2 2 2
Antwort: arithmetische Folge 2.Ordnung.
Differenzenschema in umgekehrter Richtung:
S0 S1 S2 S3 S4
a0 0 a1 a1+a2 a1+a2+a3 a1+a2+a3+a4...
....
an a1 a2 a3 a4..
......
Dan a2-a1 a3-a2 a4-a3 a5-a4......
.
Summenformel:
Summe der ersten n Glieder: geometrische Folgen:
Definition:
Eigenschaften:
Der Quotient 2-er aufeinanderfolgender Glieder ist konstant.
Jedes Folgenglied ist das geometrische Mittel seiner Nachbarn.
Summenformel:
unendliche geometrische Reihe:
n-Faktorielle:
n!=1·2·3·4·5·6·...
· (n-1) ·n
Beispiel.:
5!=1·2·3·4·5=120
Grenzwerte von Folgen:
Definition:
nennt man e-Umgebung von a.
Häufungspunkt (HP) :
x heißt HP, wenn in jeder e-Umgebung von x unendlich viele Folgenglieder liegen.
für unendlich viele n.
für unendlich viele n.
Definition von „fast alle“- Grenzwert (GW):
fast alle: Alle bis auf endlich viele.
a heißt GW der Folge, wenn in jeder e-Umgebung von a fast alle Folgenglieder liegen.
man sagt:„Die Folge a von n konvergiert gegen a.“
Schreibweise:
eine nicht konvergente Folge heißt divergent.
Unterschied zwischen GW und HP:
a = HP in jeder Umgebung liegen unendlich viele Folgenglieder.
a = GW in jeder Umgebung liegen fast alle Folgenglieder.
à Jeder GW ist auch ein HP, aber nicht jeder HP ist ein GW.
Grenzwerte von Funktionen:
Grenzwertsätze von Funktionen:
Spezialfall:
ist \und ist dann gilt:
Bemerkung: wie bei Folgen gilt:
a) ist b=0 und existiert nicht!
b) ist b=0 und a=0 => gesonderte Untersuchung!
Einseitige Grenzwerte:
Definition:
1.) existiert der GW für für h>0, so nennt man ihn rechtsseitige
GW der Funktion f an der Stelle x0.
Schreibweisen:
2.) existiert der GW für für h<0, so nennt man ihn linksseitiger
GW der Funktion f an der Stelle x0.
Schreibweisen:
3.) Sind linksseitiger und rechtsseitiger GW identisch, so existiert der GW an
der Stelle und hat den selben Wert.
Uneigentliche Grenzwerte: (GW für )
Definition:
1.)
2.)
Stetigkeit einer Funktion:
Definition:
in Worten:
1.) Eine Funktion heißt stetig an der Stelle x0, wenn an dieser Stelle der Funktions-
und Grenzwert übereinstimmen.
Bei stetigen Funktion läßt sich Funktions- und Grenzwertbildung vertauschen.
2.
) Sind GW und FW an der Stelle x0 verschieden oder existiert einer der beiden Werte
nicht, so ist die Funktion unstetig.
3.) Eine Funktion ist in einem Intervall stetig, wenn sie in jedem Punkt des Intervalles
stetig ist.
Stetig sind folgende spezielle Funktionen:
konstante Funktion
identische Funktion
Exponentialfunktion
Sinusfunktion
weiters gilt:
Die Summe, Differenz und das Produkt stetiger Funktion sind stetig.
Die Quotienten stetiger Funktion bei Nenner ungleich 0 sind stetig.
Verkettungen (Hintereinanderausführungen) stetiger Funktion sind stetig.
Existiert zu einer stetigen Funktion eine Umkehrfunktion, so ist auch diese stetig.
Allgemeine Merkregel:
Alle Funktionen, die man - ohne abzusetzen - unter einmal zeichnen kann, sind stetig!
Stetige Ergänzung von Funktionen:
Funktion f: D\ sei stetig in D\
der GW existiere.
Dann ist
stetig in ganz D und heißt stetige Ergänzung von f an der Stelle x0.
Stetige Ergänzung ist nur bei LÜCKEN machbar!
Die Differentialrechnung
Differenzierbarkeit
Ableitung einer Funktion an einer Stelle x0 ( “Lokale Differenzierbarkeit“).
Definition:
1.) heißt
Differentialquotient von f an der Stelle x0 und x0+h.
2.)
heißt Ableitung der Funktion f an der Stelle x0.
Ableitungsfunktion von f:
y=f(x)
y‘=y‘(x)=
Einseitige Differenzierbarkeit:
rechtsseitige Ableitung:
linksseitige Ableitung:
f ist differenzierbar an der Stelle f ist stetig in , wenn und existieren und ist.
physikalische Anwendungsbeispiel:
Lotrechter Wurf:
Durchschnittsgeschwindigkeit: => nach längerer
Umformung =>
Momentangeschwindigkeit:
Durchschnittsbeschleunigung:
Formeln für die Differentialrechnung:
Das totale Differential:
Def.:
Für eine diff. bare Fkt.
f: Dà W bezeichnet man als totales Differential.
Das totale Differential gibt die Ordinatenänderung der Tangente von der Fkt. f an, wenn die Abszissenänderung dx beträgt.
Für kleine dx stellt dy die 1. Änderung des Fkts.-Wertes dar.
Linearisierungsformel:
Anwendung: Näherungsverfahren (siehe später), Fehlerberechnung:
absolute Fehler: | Fehler von y | =
relative Fehler:
Näherungsmethoden:
Newton’sche Näherungsverfahren:
Definition:
Satz: Newton’sche Näherungsverfahren:
Kriterium zur Wahl des Startwertes:
Mittelwertsätze der Differentialrechnung:
Regel von de l’Hospital:
Kurvendiskussion:
Die Kurvendiskussion setzt sich zusammen aus:
a) Definitionsmenge
b) Ausnahmestellen è Pole, Lücken?
c) Nullstellen
d) Extremwerte è Tiefpunkte, Hochpunkte?
e) Wendepunkte
f) Wendetangente (nur wenn Wendepunkte vorhanden sind)
g) graphische Darstellung
a) wo ist die Fkt. nicht def.? Nenner-Nullstellen?
b) wo die Funktion nicht definiert ist (siehe a) ), muß untersucht werden, ob es sich hier um
eine Lücke (kein FW, aber GW vorh.) handelt, oder um einen Pol (kein FW und GW vorh).
c) Nullstellen findet man, indem man f(x):=0 setzt bzw. mit Näherungsverfahren (siehe
NEWTON-Verfahren)
d) Extremwerte sind vorh.
, wenn gilt:
e) Wendepunkte sind vorh., wenn gilt:
f) wenn e) vorh., gilt:
g) nun zeichnet man alle schon bekannten Punkte in einer Graphik ein und verbindet sie nach
besten Wissen und Gewissen.
Extremwertaufgaben:
Vorgangsweise:
1.) Aufstellen der Zielfunktion. Das ist jene Funktion die einen Extremwert annehmen
soll.
Diese Größe hängt aber im allgemeinen von mehreren Variablen ab.
y=f(x1,x2,x3,...,x n-1,xn).
2.
) Aufstellen von (n-1) – Nebenbedingungen. Dadurch können (n-1) – Variablen
aus der Zielfunktion eliminiert werden.
y=f(x)
3.) Den Definitionsbereich festlegen.
4.) differenzieren der Zielfunktion.
5.) Nullstellen der Ableitung suchen.
6.) Untersuchung, ob die gefundene Nullstelle ein Minimum oder Maximum ist. Dies
erkennt man in der 2. Ableitung.
7.) Berechnung der übrigen Bedingungen.
8.) Extremwert der gesuchten Größe berechnen.
Kurven in Parameterdarstellung:
Definition:
Bemerkung:
à Funktion = Spezialfall einer ebenen Kurve.
Durch Eliminieren des Parameters gelingt es oft, eine Parameterfreie Form zu erhalten.
2 Prinzipielle Vorgangsweisen beim Eliminieren:
Kreisgleichung:
Parabel
polare Parameterdarstellung:
Neben der kartesischen Parameterdarstellung (=Angabe von x und y Koordinaten) gibt es auch die Möglichkeit einen Punkt durch Angabe von Betrag (=Abstand zum Ursprung) und Winkel, gemessen von der positiven x-Achse gegen den Uhrzeigersinn, festzulegen.
Unterscheidungsmerkmal: Bei der polaren Parameterdarstellung werden die Werte Betrag und Winkel durch “;“ getrennt!
Umrechnung von kartesisches System in polare Parameterdarstellung:
Umrechnung von polarer Parameterdarstellung in kartesisches System:
Differation von Kurven in Parameterdarstellung
Krümmung, Krümmungskreis
Definition:
Ein Kreis, der in einem Punkt (x0,f(x0)) einer Funktion f(x) in der 1. und 2.
Ableitung mit der Funktion übereinstimmt heißt Krümmungskreis, Schmiegekreis.
Die Kurve auf der die Mittelpunkte aller Krümmungskreise an einer Funktion liegen, nennt man EVOLUTE dieser Funktion.
Die Ursprüngliche Funktion nennt man dann EVOLVENTE dieser Evolute.
Berechnung des Krümmungskreises an eine Funktion y=f(x) im Punkt P(x0/f(x0)).
Das unbestimmte Integral:
Definition:
Satz:
Sind R(x) und S(x) Stammfunktionen von f(x) , so unterscheiden sie sich nur von einer Konstante, genannt „Integralkonstante“.
S(x)=R(x) + c
Folgerung:
Bemerkung:
Das Integrieren ( = Suchen einer Stammfunktion) ist die Umkehrfunktion
zum differenzieren.
Integrieren ist der Versuch, die Differentiationsregeln umzukehren.
NICHT jede Integralaufgabe ist elementar lösbar!
Allgemeine Integrationsregeln:
Grundintegrale:
Das bestimmte Integral:
allgemeine Definition:
Existiert der GW für jede beliebige Zerlegung des Intervalls [a,b], so nennt man f über den Intervall [a,b] integrierbar und den gemeinsamen GW bezeichnet man als bestimmtes Integral von f zwischen a und b.
è
a.
..obere Grenze
b...untere Grenze
A.
..Fläche unter der Kurve im Intervall zwischen a und b
Sätze über das bestimmte Integral:
vorausgesetzt: f,g in [a,b] integrierbar
Mittelwertsatz:
nennt man Mittelwert der Funktion f
Hauptsatz der Integralrechnung:
Näherungsweise Bestimmung von Flächeninhalten:
(numerische Integration)
Vorbemerkung:
Es gibt viele Näherungsverfahren: z.B.: Rechteckformeln, Trapezformeln,..
..
Ich werde hier nur die 2 wichtigsten anführen: Kepler-Regel und Simpson-Formel.
Kepler-Regel:
Simpson-Formel:
Uneigentliche Integrale:
Bisher waren zur Berechnung von Integralen folgende Voraussetzungen notwendig:
endliches Integrationsintervall è [a,b] a,b R
Beschränktheit von f im ganzen Intervall è
Definitionen:
Kurven in Parameterdarstellung:
Kartesische Parameterform:
Sektorenformel von LEIBNIZ (Planimeterformel):
Sektorenformel für Polarform:
Volumensberechnung:
A...
Querschnittsfläche
Spezialfall: Rotationssymmetrische Körper (Drehkörper):
x-Achse als Drehachse:
y-Achse als Drehachse:
è falls f:= bijektiv (=umkehrbar) ist è
in kartesischen Parametern:
Bogenlängen:
Parameterdarstellung:
y:=f(x)
Polarform:
Berechnung von Mittelwerten:
.... heißt Mittelwert von f im Intervall [a,b]
Bemerkungen zur Parameterdarstellung:
Parameterdarstellungen sind nicht eindeutig!
Die Parameterfreie Form ist besonders gut geeignet, sich ein Bild von der Fläche zu beschaffen:
a) Man betrachtet Schnittkurven mit den Koordinaten:
z:=0 à xy-Ebene
x:=0 à yz-Ebene
y:=0 à xz-Ebene
b) Man betrachtet Parallelkurven zu den Koordinatenebenen:
(z:=konst., x:=konst.
, y:=konst.)
Beispiel:geg: z:=x²-y²Schnitte mit z:=konst. a) z:=0è x²-y²=0
(x-y)*(x+y)=0
è x=y und x=-y (è 1.+2. Meridiane!)
b) z:=c è x²-y²=c (è gleichseitige Hyperbel!)
Differentation von Flächen in explizieter Darstellung:
z:=f(x,y)..
..Fläche in expliziter Form
z:=f(x,0)....
Schnittkurve von z:=f(x,y) mit
der xz-Ebene.
z:=f(x,y0)..Schnittkurve mit der Parallel-
Ebene zur xz-Ebene bei y:=y0
analog: z:=f(0,y) und z:=f(x0,y)
siehe Zeichnung
Definition: z:=f(x,y)
...
partielle Ableitung von fàx an der Stelle (x0,y0).
...partielle Ableitung von fày an der Stelle (x0,y0).
In Worten:
Die partielle Ableitung nach einer beliebigen Variable erhält man als gewöhnliche Ableitung, wenn man dabei alle anderen Variablen als konstant betrachtet.
Die partielle Ablietung bedeutet die Steigung der Schnittkurve z:=f(x,y0).
Diese Definition ist erweiterbar auf Funktionen mit mehr als 2 Variablen (Bei mehr als 2 Variablen nicht mehr geometrisch darstellbar!).
Höhere partielle Ableitungen:
Definitionen:
Satz von Schwarz:
Sind alle gemischten partiellen Ableitungen n in der Umgebung eines Punktes stetig, sind sie von der Reihenfolge der Diff. unabhängig! (è alle Ableitungen sind gleich!)
Im speziellen:falls stetig!
Extrema von Flächen:
Satz: notwendige Bedingung für Extremstellen:
Es ist notwendig, daß alle partiellen Ableitungen 1. Ordnung den Wert 0 haben:
geometrisch: Tangentialebene muß parallel zur xy-Ebene sein.
Satz: hinreichende Bedingungfür Extremstellen:
det(D²f)>0 è Extremum
ist zusätzlich: >0 è Minimum
<0 è Maximum
det(D²f)<0 è Sattelpunkt
det(D²f)=0 è keine Entscheidung möglich!
Bsp.
: Regressionsgerade:
Geg: Meßpunkte (xi,yi) (wobei i:=1..n) mit Meßfehler behaftet
Ges: bestmögliche Gerade durch die Meßpunkte è Die Summe der Fehler soll
möglichst klein werden!
Idee: Gauß-Methode der kleinsten Fehlerquadrate:
totales Differential:
(allg. siehe Formelzettel 7)
Wiederholung:
(siehe auch Formelzettel 7)
f: I à R
x à f(x)
df:=f´(x)dx ...
totales Differential von f
Anwendung: Fehlerabschätzung (siehe Formelzettel 7)
Neue Def.:
f: I x J à R
(x,y) à f(x,y)
nennt man totales Differential von f
geometrisch: Im festen Punkt (x0,y0,f(x0,y0)) stellt das totale Diff. die Tangentialebene dar.
Besondere Substitutionen:
4.a)
4.b)
4.
c)
Differentialgleichnungen (DGL):
Grundbegriffe:
einer DGL der Ordnung n.
Def.: 1.) jede Fkt. j(x), für die gilt: nennt man Lsg. der DGL.
2.) Die Menge aller Lösungen einer DGL nennt man allgeime Lösung.
3.) Der Graph jeder Lsg. j heißt Lösungskurve.
4.
) Ist ein Polynom vom Graph k inso sagt man:
Die DGL hat den Grad k
5.) DGL vom Grad 1 heißen lineare Differentialgleichungen.
allg. gültige Sätze über DGL:
1.) Die allg. Lsg.
einer DGL der Ordnung n hängt von n willkürlichen Parametern ab.
2.) Jede Spezialisierung dieser Parameter liefert eine spezielle Lösung dieser DGL.
Def.: 1.) Unter einer Anfangswertaufgabe (AWA) zur DGL
versteht man eine Festlegung der Werte von
an einer einzigen Stelle x0.
2.) Unter einer Randwertaufgabe (RWA) zur DGL
versteht man die Festlegung einer Auswahl von
an mindestens 2 Stellen x0,x1.
Rechnerische Lösungsverfahren:
A) Trennung der Variablen:
Ist f(x,y) als Produkt darstellbar, so ergibt sich die Lösung durch:
bzw. H(y)=G(x)+c
B) gleichgradige DGL:
C) exakte DGL:
Def.: Eine DGL heißt exakt, wenn es eine Fkt. F(x,y) gibt, deren totales Differential gerade den Ausdruck ergibt.
è Lösung: F(x,y)=c
D) lineare DGL 1.Ordnung:
b(x)=0 ... homogene Lösung
b(x)¹0 ..
. inhomogene Lösung
Satz: Die allg. Lösung einer DGL läßt sich immer bilden, als Summe der allg. Lösung xh der homogenen DGL (b(x) weglassen!) und einer speziellen (partikulären) Lösung yp der inhomogenen DGL.
Lösungsweg:
1.) homogene DGL: (mit Trennung der Variablen)
2.
) inhomogene DGL:
Ansatz:
Einsetzen in DGL:
E) Differentialgleichungen 2. Ordnung:
DGL 2. Ordnung, die sich durch subst. auf DGL 1.Ordnung zurückführen lassen:
5 Fälle sind zu unterscheiden: Entartet der Ausdruck f(x,y,y’) zu
1.) f(x) 2.
) f(y) 3.) f(y’) 4.) f(x,y’) 5.) f(y,y’)
so läßt sich die gegebene DGL durch eine subst. y’=p(x) è y”=p’(x) bei 1 und 4
bzw. y’=p(y) è y”= bei Fall 2 und 5 auf eine DGL 1.
Ordnung zurückführen.
Lineare DGL 2. und höherer Ordnung mit konst. Koeffizienten:
Definition:
heißt lineare DGL mit konst. Koeffizienten n-ter Ordnung
Ist f(x)=0, so heißt die DGL homogen, sonst inhomogen
heißt zugehöriges charakteristisches Polynom
Die Gleichung heißt charakteristische Gleichnung
Lösungsweg:
homogene Lösung:
Bestimmung der Lösungsbasis y1 bis yn
Ansatz: L(y)=0
inhomogene Lösung
suchen einer speziellen Lösung
allg. Merksatz für DGL 2.
und höherer Ordnung:
Jede reelle, homogene lineare DGL n-ter Ordnung mit konst. Koeffizienten hat n von einander unabhängige Lsg.en, die aus in n komplexe Linearfaktoren abgelesen werden.
Hierbei unterscheidet man 2 Fälle:
Tritt der reelle Lin.faktor k-mal auf (also Faktor in der Zerlegung), so lauten die k zugehörigen Lsg.en, wie folgt:
Tritt der komplexe Lin.
faktor k-mal auf, so erhält man auch den konjugiert komplexen Linearfaktor, der auch k-mal auftritt, weil ein reelles Polynom vorhanden war und die Lösungen lauten:
Faßt man die jeweils konj. Komplexen Lsg.en mit der EULER-Formel zusammen, so erhält man die reellen Lsg.en:
Die Kombination der beiden Typen ergibt die Gesamtlösung.
Interpolationsrechnung:
Allg. Problemstellung:
Gegeben ist eine Funktion oder geordenete Paare.
Gesucht ist ein Polynom vorgegebenen Grades, das mit der Funktion gewisse Eigenschaften gemeinsam haben soll.
LAGRANGE-Interpolation:
Das Polynom soll in n+1 Punkten x0, x1, ... xn die Funktionswerte f(x0), f(x1), f(xn) annehmen.
Formel:Bem.
: Alle Linearfaktoren, außer .
Soll eine Fkt. F durch LAGRANGE-Interpolation angenähert werden, ändert sich die Formel in:
Vorteil von LAGRANGE-Interpolation: Sie giltet auch bei komplexen Zahlen.
TAYLOR-Interpolation:
Das Polynom soll in einem einzigen Punkt x0 mit der gegebenen Funktion, dem Funktionswert und allen Ableitungen übereinstimmen.
Durch Vorgabe eines Funktionswertes y0 und n-Ableitungen an ein und derselben Stelle x0 ist das Polynom P(x) mit der Eigenschaft (=alle Ableitungen stimmen überein) eindeutig bestimmt, falls Grad(P) n ist.
è Formel:
Bem.
:
Soll eine Funktion f an einer Stelle x0 TAYLOR-aproximiert werden, so schreibt sich die Formel:
Besonders wichtig ist der Fall x0=0 (Entwicklung um den Nullpunkt):
Soll allg. das TAYLOR-Polynom an der Stelle x angegeben werden, also P(x)=... so hilft eine Substitution:
HERMITE-Interpolation:
Am einfachsten ist es, die gegebenen Bed. abzuzählen und für (n+1)-Bed.
Ein allg Polynom vom Grad n anzusetzen. Das Einsetzen der Bed. liefert ein lin GLG.-System für die (n+1)-Koeffizienten des Polynoms. Kurz: k-Bed. è Polynom vom Grad (k-1).
Unendliche Reihen:
Siehe auch : “geometrische Folgen” (Seite 2), bzw. “Grenzwerte von Folgen” (Seite 3)
Konvergenz und Divergenzkriterien für unendl. Reihen
Majorantenkriterium:
Ist eine konvergente Reihe mit lauter positiven Summanden () und gilt für eine Reihe, daß , so gilt: ist konvergent! (nennt man “konvergente Majorante”).
Minorantenkriterium:
Ist eine divergente Reihe mit und gilt für eine Reihe , daß , so ist auch divergent.
Mann nennt dann eine divergente Minorante.
Ist eine konvergente Reihe, so gilt:
Wichtig ist die Umkehrung davon, als Divergenzkriterium:
Gilt , so ist die Reihedivergent!
Bem.
:
Das Umordnen endl. vieler Glieder ändert bei unendl. Reihen weder das Konvergenzverhalten, noch ihren Summenwert.
Das weglassen endl. vieler Glieder ändert ebenfalls nicht das Konvergenzverhalten, aber den Summenwert!
Quotientenkriterium: (nach d’Alembert)
Existiert für eine Reihe der GW , so gilt:
Ist
g < 1, so ist die Reihe konvergent.
g = 1, so ist keine Aussage möglich.
g > 1, so ist die Reihe divergent.
LEIBNIZ-Kriterium für alternierende Reihen:
Für konvergente, alternierende Reihen gilt, daß der Fehler nach k-Summanden kleiner ist, als das erste nicht mehr berücksichtigte Folgenglied:
Definitionen und Sätze zu konvergente Reihen:
Eine Reihe heißt absolut konvergent, wenn konvergent ist.
Eine Reihe heißt unbedingt konvergent, wenn der Summenwert unabhängig von der Reihenfolge der Summanden ist.
ACHTUNG! Umordnung unendlich vieler Summanden möglich! Sonst heißt die Reihe bedingt konvergent.
Absolut konvergent konvergent
Absolut konvergent unbedingt konvergent
Mit bedingt konvergenten Reihen läßt sich durch geeignete Umordnung jeder beliebige Summenwert erzeugen.
Die Funktionsreihe:
Definition:
.
.. Folge von Funktionen
Dann heißt
Funktionenreihe in der Variable x.
Die Potenzreihe (Sonderform der Funktionsreihe):
Definition:
Eine Funktionsreihe der Form nennt man Potenzreihe.
Folgerungen:
Jede Potenzreihe konvergiert für x=0, Summenwert=a0
Falls konvergiert, dann konvergiert diese Reihe (es ist dann eine konv. Majorante)
Falls für divergiert, so divergiert die Reihe
Definitionen:
heißt “niergends konvergent”, wenn sie nur für x=0 konvergiert.
heißt “beständig konvergent”, wenn sie konvergiert
heißt Konvergenzmenge
Satz:
Konvergenzmenge K ist immer ein Intervall. K:=]-r,r[ (r...Konvergenzradius)
Falls existiert, gilt . Ist , so ist K=R, d.
h. die Reihe ist beständig konvergent.
Bemerkungen:
Für x=r und x=-r kann keine allg. Aussage getroffen werden è gesonderte Untersuchung auf Konv. / Div. Notwendig! (für x wirdeinfach der Dezimalwert r und –r eingesetzt!)
Falls einzelne Potenzen fehlen, so kann der GW nicht direkt ausgerechnet werden è Quotientenkriterium:
,wobei ist.
Rechenregeln für konvergente Potenzreihen:
Satz: Es sei , daraus folgt:
Alle neu entstehenden Potenzreihen konvergieren im selben Intervall.
TAYLOR-Reihe
Definition:
, f unendl. oft diff.bar
Die Potenzreihe der Form heißt TAYLOR-Reihe im Zentrum 0, McLAURIN-Reihe
ACHTUNG! Die rein formal gebildete Potenzreihe muß mit der ursprünglichen Funktion f nichts zu tun haben.
è Folgerung:
Die unendl. oft diff.
bare f wird durch die TAYLOR-Reihe mit Zentrum 0 im Konvergenzintervall dieser Reihe genau dann dargestellt, wenn:
è Restgliedabschätzung (nach LAGRANGE):
allg. TAYLOR-Reihe: (Zentrum ):
Die Ausgleichsrechnung:Diskrete AR:
Problemstellung:
geg: Funktionensystem:und n+1 Meßpunktemit i=0,1,2,...n,
wobei n>m.
ges: Funktion die die gegebenen Meßpunkte optimal annähert.
Bemerkung:
Der Unterschied zur LAGRANGE-Interpolation besteht darin, daß mehr Meßpunkte als Funktionen vorhanden sind und das Gleichungssystem für die ak überbestimmt wäre.
Daher kann man im allg. nicht erwarten, daß die Näherungsfunktion durch alle Meßpunkte geht.
Lösung des Problems: “Minimale Gauß’sche Fehlerquadrate”:
è nach differenzieren und Umformen ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
è Berechnung von a0 bis am möglich.
Stetige AR:
Problemstellung:
geg: Funktion f: [a,b] àR
Funktionensystem
ges: beste Annäherung von f durch
Lösung:
è nach differenzieren und Umformen ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
è Berechnung von a0 bis am möglich
Sonderfall der stetigen AR
Das Gleichungssystem würde sich sehr vereinfachen lassen, wenn
1.)
Noch schöner wäre das Ergebnis, wenn
2.
)
è Definitionen:
zu 1.) Ein Funktionssystem mit der Eigenschaft
nennt man „Ortogonalsystem“ über dem Intervall [a,b].
zu 2.) Ein Funktionensystem mit der Eigenschaft
nennt man „normiertes Orthogonalsystem“ oder „Orthonormalsystem“.
è Fehler :=
FOURIER-Reihen (=FR):
allgemeine FOURIER-Reihe:
mit
Bei gerade Funktion (=Spiegelung an der y-Achse) è nur cos-Funktionen in der FR:
è
weiters gilt
Bei ungerader Funktion (= Spiegelung an dem Ursprung) è nur sin-Funktionen in der FR:
è
weiters gilt
FR über ein allgemeines Intervall:
mit
+sehr ausführlich, enthält wirklich die wesentliche Bereiche der Mathematik kurz zusammengefaßt
-ab der 2.Hälfte schlecht strukturiert
-nicht als Referat geeignet (zu lang, inhaltlich zu umfassend), sondern als mathemat.
Zusammenfassung,
-da die Erklärungen kurz gehalten sind, muß man sich schon mit dem Stoff befaßt haben um ihn zu verstehen (als Wiederholung bzw. Nachschlage-”werk”)
Keywords: Formelsammlung Differentialgleichungen Integration Differenzieren Folgen Reihen Fourierreihen Analysis
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