Phasenkompensation von operationsverstärker

Phasenkompensation von Operationsverstärker    1 Grundlagen 2 1.1 Frequenzgang 2 1.2 Vergleich Invertierer — Nichtinvertierer 2 1.3 Stabilitätsbedingung 3 1.4 Phasenspielraum (phase margin) a 4 1.5 Unterschied Invertierer — Nichtinvertierer 5 1.

6 Rechteck-Übertragungsverhalten in Abhängigkeit vom Phasenspielraum 5 2 Lag Kompensation 5 2.1 Kompensation für -90° Phasenspielraum 5 2.1.1 Kompensation mit Kondensator 6 2.1.2 Kompensation mit RC-Glied 7 2.

1.3 Kompensation mit 2 RC-Gliedern 9 2.1.4 Kompensation für V0’>1 9 2.2 Kompensationspunkte 10 2.3 Stabilisierung bei kapazitiver Last 11 2.

4 Voraussetzungen für die Stabilisierbarkeit einer Schaltung 12 3 Lead Kompensation 13 3.1 Kompensation durch Veränderung des Frequenzganges des Gegenkopplungsnetzwerkes 14 4 Die Lag-Lead Kompensation mit 2 rückwirkungsfreien Gliedern 15 5 Feed Forward Kompensation 16 5.1 passiv 16 5.2 aktiv 17 6 Anhang 18 6.1 Miller-Effekt 18 6.2 Kompensation für -60° Phasenspielraum 20 6.

3 Kompensation für einen Phasenspielraum von 0° 21 6.4 Verwendete Bezeichnungen 22 6.4.1 Abkürzungen 22 6.4.2 Definitionen 22                       Grundlagen FREQUENZGANG Die Differenzverstärkung eines Operationsverstärkers sinkt bei höheren Frequenzen ab.

Die Hauptursache dafür sind Schalt- und Transistorkapazitäten. Sie bilden zusammen mit den Schaltungswiderständen Tiefpässe. Der typische Frequenzgang der Leerlaufverstärkung und Phasenverschiebung eines Operationsverstärkers ist in unterem Diagramm dargestellt:     Abb.1 Kurve 1: Frequenzgang der Leerlaufverstärkung V Kurve 2: Frequenzgang der Phasenverschiebung j Kurve 3: Frequenzgang des Phasenspielraums a   Bei Frequenzen oberhalb von f1 bestimmt das RC-Glied mit der niedrigsten Grenzfrequenz den Frequenzgang. Die Verstärkung fällt mit 20 dB je Dekade; dadurch tritt zwischen UD und Ua eine Phasenverschiebung von j=-90° auf. Die Ausgangsspannung eilt der Eingangsspannung also um 90° nach.

Oberhalb von f2 wird zusätzlich ein zweiter Tiefpaß wirksam; die Verstärkung fällt nunmehr mit 40dB je Dekade; die Phasenverschiebung zwischen UD und Ua beträgt j=-180°. Das bedeutet aber, daß sich die Rollen von P- und N-Eingang vertauschen. Die Gegenkopplung, die ja immer vom Ausgang zum invertierenden Eingang führt, wirkt also in diesem Frequenzbereich als Mitkopplung. Aus diesem Grunde neigen gegengekoppelte Verstärker zum Schwingen.     Anmerkung: Im Bode Diagramm werden Verstärkungen multipliziert, indem man sie addiert Þ V0=V0’g0   VERGLEICH INVERTIERER — NICHTINVERTIERER Invertierender Verstärker Nichtinvertierender Verstärker             Berechnung der Verstärkung V’ der beiden Schaltungen       Für ergibt sich:                     In diesen Blockschaltungen ist ersichtlich, daß der invertierende und der nichtinvertierende Verstärker in der Gegenkopplungsschleife vollkommen übereinstimmen. Deshalb wird für weitere Stabilitätsbetrachtungen der Nichtinvertierer herangezogen (k=1/V0’, diese Beziehung gilt näherungsweise auch für den invertierenden Verstärker für große Verstärkung, bei dem k=1/(V0’+1) ist).

Beim Invertierer entsteht durch den zusätzlichen Faktor k-1, der immer negativ ist, die invertierende Wirkung, die aber nicht in die Stabilität mit eingeht.   STABILITÄTSBEDINGUNG     Man kann prinzipiell nicht verhindern, daß die Phasenverschiebung bei hohen Frequenzen 180° überschreitet. Die Aufgabe der Phasenkompensation besteht darin, die Verstärkung V auf Werte unter V0’ herunterzusetzen, bevor j = -180° wird. In Abb.1 ist die kleinstmögliche Verstärkung V0’ eingezeichnet, bei der diese Bedingung noch erfüllt ist. Will man stärker gegenkoppeln, d.

h. V0’ verkleinern, muß man auch V(j = -180°) verkleinern. Dazu kann man z.B. einen Tiefpaß in den Verstärker einbauen, der die notwendige Abnahme von V bei höheren Frequenzen bewirkt und eine Phasenverschiebung von weniger als 180° verursacht. In vielen Schaltungen kann die äußere Gegenkopplung selbst zusätzliche Phasenverschiebungen hervorrufen.

Dann müssen die frequenzabhängigen Phasenverschiebungen des Verstärkers unter -180° bleiben, solange V größer als V0’ ist.   PHASENSPIELRAUM (PHASE MARGIN) a Ist derjenige (negative) Winkel, um den man die Phase der gegengekoppelten Spannung weiter verzögern müßte, damit eine selbständige Schwingung eintritt. a ist also der Winkel, der an der Phasenverschiebung von Verstärker und Gegenkopplung zu -180° fehlt. Verursacht die Gegenkopplung selbst keine Phasenverschiebung, folgt a=-(180°+j). Man erkennt, daß a in Abb.1 betragsmäßig mit steigender Frequenz abnimmt bis zu der Frequenz fk, bei der V=V0’ wird.

Besondere Bedeutung kommt dem Phasenspielraum bei der Frequenz fk zu. Wir wollen ihn im folgenden als den kritischen Phasenspielraum ak bezeichnen: ak=a(V=V0’)   In Abb.1 ist ak=0. Das bedeutet, daß keine zusätzliche Phasenverschiebung auftritt. Diese Voraussetzung wollen wir jetzt fallen lassen und den Frequenzgang von V’ zunächst für a=-90° betrachten. a=-90° kann beispielsweise dadurch zustande kommen, daß der Verstärker selbst eine zusätzliche Phasenverschiebung von j=-90° besitzt und mit ohmschen Widerständen gegengekoppelt ist.

Sein Frequenzgang der Leerlaufverstärkung ist in Abb.2 dargestellt.   Abb.2 Frequenzgang der Leerlaufverstärkung V Frequenzgang der Verstärkung bei Gegenkopplung (V0’=1 gewählt)  Man erkennt, daß die Verstärkung konstant bleibt, solange f<<fk ist und bei höheren Frequenzen wie die Leerlaufverstärkung abnimmt. Aus dem Diagramm für V’ kann man entnehmen, daß wenn wir den Phasenspielraum verkleinern, die Gegenkopplung kontinuierlich in eine Mitkopplung übergeht. Das führt dazu, daß je nach verbleibendem Phasenspielraum V’ in einem gewissen Frequenzbereich mehr oder weniger ansteigt.

Für a=0° kann V’ unendlich groß werden. a darf bei keiner Frequenz f<fk gleich Null sein, da die gegengekoppelte Anordnung sonst schwingt und als Verstärker nicht brauchbar ist. Wie der Frequenzgang von V’ in der Nähe von fk verläuft, hängt lediglich vom Phasenspielraum der Frequenz ab, bei der die Leerlaufverstärkung so klein wird wie die Verstärkung bei Gegenkopplung und tiefen Frequenzen; maßgebend ist also lediglich ak. Größte Bandbreite bei optimaler Linearität des Frequenzganges erhält man für ak=-60°.         Links ist die Schleifenverstärkung in Abhängigkeit von der Frequenz dargestellt. Ob der Verstärker stabil ist hängt von der Schleifenverstärkung, d.

h. vom Produkt kV ab. Der Verstärker ist stabil, wenn |kV|<1 ist bevor 180° Phasenverschiebung erreicht sind. In dem links dargestellten Fall trifft dies zu. Entscheidend ist die Phasenverschiebung bei VS=g=kV=1 (Schnittpunkt der Schleifenverstärkung mit dem Einheitskreis). Der Winkel, der diesem Punkt auf 180° fehlt ist die Phasenreserve a.

          UNTERSCHIED INVERTIERER — NICHTINVERTIERER Wenn der OPV mit einer niedrigen Verstärkung betrieben wird, dann müssen der Invertierer und der Nichtinvertierer getrennt behandelt werden. Invertierer: Stabilitätsbedingung: Nichtinvertierer: Stabilitätsbedingung:    Bode Diagramm für V0’ sehr klein Die Stabilitätsbedingung sagt, daß die Schleifenverstärkung (also das Produkt k.V) bei einer Phasenverschiebung von 180° kleiner 1 sein muß. Das heißt, daß bei der kritischen Frequenz die Phasenverschiebung noch weniger als 180° betragen muß, damit der Verstärker stabil ist. Im links dargestellten Fall ist bei der kritischen Frequenz des Nichtinvertierers die Phasenverschiebung schon deutlich über 180°, während der Invertierer möglicherweise noch stabil ist. Þ Invertierer sind stabiler als Nichtinveriterer       RECHTECK-ÜBERTRAGUNGSVERHALTEN IN ABHÄNGIGKEIT VOM PHASENSPIELRAUM Mit Hilfe der Laplacetransformation läßt sich zeigen, daß ein direkter Zusammenhang zwischen dem Frequenzgang und dem Rechteckübertragungsverhalten einer Schaltung besteht.

  Idealer Rechtecksprung am Eingang:   ak=-90°: Einschwingvorgang aperiodisch.   Bei kleineren Werten von ak tritt ein Überschwingen auf;   bei ak=0 eine ungedämpfte Sinusschwingung.   Bei ak=-60° beträgt das Überschwingen nur 5%; dieser Wert von ak ist also auch bezüglich des Rechteckverhaltens günstig.       Lag Kompensation KOMPENSATION FÜR -90° PHASENSPIELRAUM Ist es notwendig einen Operationsverstärker universell zu verwenden, so benötigt man einen Phasenspielraum von a=-90° für alle Frequenzen, bei denen die Verstärkung größer als Eins ist (ungünstigster Fall bei der Wahl V0’=1). Ein Verstärker dieser Form ist bei jeder ohmschen Gegenkopplung aperiodisch gedämpft und bleibt stabil, solange das Gegenkopplungsnetzwerk nicht mehr als einen Tiefpaß (j max. 90°) enthält.

Es ist leider so, daß der Frequenzgang eines Verstärkers im Allgemeinen nicht diese Anforderungen erfüllt, wie man in Abb.3 sehen kann. Schon bei der Frequnz f2 beträgt j=-90°-45°=-135° (siehe auch Abb.1), Der daraus resultierende Phasenspielraum hat also nur noch einen Wert von -45°, obwohl die Verstärkung noch hohe Werte besitzt. Um den Maximalwert von j bei -90° zu begrenzen, solange die Verstärkung V>(V0’=1) ist, muß die Verstärkung mit 20dB pro Dekade abnehmen, und der Verstärkungswert 1 erreichen bevor ein zweiter Tiefpaß noch eine zusätzliche Phasendrehung hervorruft.   KOMPENSATION MIT KONDENSATOR Abb.

3 Kurve 1: Natürlicher Frequenzgang Kurve 2: Frequenzgang nach Kompensation        Innenwiderstand Ri Kompensationskondensator Ck  Um den in Abb.3 gezeigten natürlichen Frequenzgang zu kompensieren, ist es möglich, wie in nebenstehender Abbildung gezeigt, einen Kondensator Ck an einen geeigneten Schaltungspunkt anzuschließen. Ri ist der Innenwiderstand der Schaltung an diesem Punkt ohne Gegenkopplung. Durch den eben erwähnten Kondensator und den Widerstand wird ein Tiefpaß gebildet, der die Grenzfrequenz hat. Da die Steigung den Wert -1 hat muß sein; fK (kritische Frequenz) ist darin definitionsgemäß die Frequenz, bei der die Verstärkung H(w) gleich H(w)0’ (hier zur Vereinfachung 1 gewählt) wird. Da vom Kompensationsglied selbst eine Phasenverschiebung von -90° verursacht wird, muß man für fK eine Frequenz wählen, die so niedrig liegt, daß der Verstärker dort keine nennenswerte Phasenverschiebung verursacht.

Dazu ist es notwendig, daß die Frequenz fK mindestens eine Dekade unter der Frequenz f1 liegt. Bei der Frequenz f1 wird der erste verstärkereigene Tiefpaß zusätzlich wirksam und bewirkt dort eine zusätzliche Phasenverschiebung von -45°. Würde statt dessen fK=f1 gewählt, so würde die Kurve in Abbildung 1 durch den Punkt f1 gehen und hätte bei V=V0’=1 nicht mehr den für die Stabilität geforderten Phasenspielraum von mindestens -90°. Es ist eindeutig erkennbar, daß diese Kompensationsmmethode die Bandbreite der Leerlaufverstärkung drastisch verkleinert. Ein anderer wesentlicher Nachteil dieser Kompensationsmethode ist, daß sie auch in dem Frequenzbereich eine Phasenverschiebung hervorruft, indem es der Verstärker selbst schon tut. Es existiert jedoch eine einfache Möglichkeit, die Phasenverschiebung der Kompensationsschaltung bei hohen Frequenzen wieder auf Null herunterzusetzen.

Zu diesem Zweck schaltet man zum Kondensator CK den Widerstand RK, wie in folgendem Kapitel erklärt, in Serie.                                               KOMPENSATION MIT RC-GLIED     Kompensation mit RC-Glied    Für die Übertragungsfunktion des RC-Gliedes, und damit für die Open-Loop-Verstärkung, ergibt sich: Indem wir weiters und einsetzen erhalten wir für die Verstärkung: Es treten hier 2 Asymptoten auf,   Für tiefe Frequenzen w<<wg1 => Für hohe Frequenzen w>>wg2 => Für die Phasenverschiebung gilt: Bei den Frequenzen wg1 und wg2 beträgt j»-45°, wenn wg2>>wg1 gewählt wird. Bei der Frequenz: besitzt die auftretende Phasenverschiebung ihr Maximum (wm liegt im Bode-Diagramm ca. in der Mitte von wg1 und wg2). Die unten angeführte Tabelle zeigt einige Werte von jm   wg2/wg1 5 10 100 1000 jm -45° -53.6° -79° -86.

5°       In Abb.4 ist der Frequenzgang der Abschwächung und Phasenverschiebung für wg2=100wg1 eingezeichnet. Hier wollen wir nun ein derartiges Kompensationsglied RKCK anstelle des Kondensators CK einsetzen. Der Frequenzgang und die Leerlaufverstärkung sollen mit der vorhergehenden Schaltung übereinstimmen.   Abb.5 zeigt, den Frequenzgang des Kompensations RC Gliedes und der des damit kompensierten Verstärkers.

Damit der resultierende Frequenzgang der Leerlaufverstärkung bei der Frequenz f1 mit 20dB je Dekade abfällt, wählt man fg2=f1.   Abb.5 Frequenzgang der Verstärkung Kurve 1: unkompensierter Verstärker Kurve 2: kompensierter Verstärker Kurve 3: Kompensationsglied Dieser Verstärker besitzt bei der Frequenz f1 eine Phasenverschiebung von j=-45°. Bei der Frequenz fg2 bewirkt das Kompensationsglied einen Phasenverschiebung von -45°, oder etwas weniger. Somit verursachen Verstärker und Kompensationsglied gemeinsam eine Phasendrehung von weniger als -90°. Oberhalb von fg2=f1 reduziert sich die Phasenverschiebung des Kompensationsgliedes auf Null, und die Phasenverschiebung des Verstärkers erhöht sich auf einen Wert von -90°.

Erst in der Nähe von f2 wird die Phasenverschiebung des Verstärkers größer als -90°. Aus diesem Grund muß die Leerlaufverstärkung den Wert V=V0’=1 erst bei einer Frequenz fK erreichen, die etwa eine Dekade unter der Frequenz f2 liegt. Aus diesem Grund muß fK ungefähr bei f1 liegen, wie in Abb.5 dargestellt.    Es ist eindeutig erkennbar, daß sich die Leerlaufbandbreite gegenüber dem in Abb.3 dargestellten Verlauf um eine Dekade verbessert hat.

Um nun das Kompensationsglied zu dimensionieren wird zunächst von diesem f1 und f0 (siehe Abb.5) bestimmt. Für die Abschwächung des RC-Gliedes erhalten wir . Sobald man also den Wert für Ri kennt, kann man sich dadurch RK berechnen. Ck läßt sich aus der Formel berechnen. Die Frequenz fg1 hat dadurch den Wert f1/V0.

Diese hier beschriebene Methode ist nur bei einer Leerlaufverstärkung unter 1000 sinnvoll, wenn man nicht die Möglichkeit hat, die Kompensation an einem sehr hochohmigen Schaltungspunkt anzuschließen, was das hier anschließend gezeigte Beispiel beweist. Sind die Werte beispielsweise: Ri=5kW f1=100kHz V0=105 So ergeben sich für RK und CK nach den oben angeführten Formeln die Werte: RK»0.05W CK=32mF Kondensatoren in dieser oben angegebenen Größenordnung sind meist sehr unhandlich, weil man wegen der sehr schlechten Hochfrequenzeigenschaften im allgemeinen keine Elektrolytkondensatoren verwenden kann. Zudem ist es äußerst schwer einen Widerstand in der Größenordnung kleiner 10W zu realisieren, da auch Widerstände von Leitungen bzw. von Spannungsquellen auftreten (in einer nicht zu vernachlässigenden Größenordnung). Besitzt jedoch ein Verstärker einen Innenwiderstand von Ri=5MW ergeben sich durch die oben angeführten Gleichungen Werte von RK=50W und CK=32nF.

Ist in einer Schaltung kein solch hochohmiger Schaltungspunkt zur Verfügung, so erhält man annehmbare Werte für RK und CK nur, wenn man die Abschwächung mit einem Kompensationsglied kleiner 1000 hält.           KOMPENSATION MIT 2 RC-GLIEDERN  Abb.6 Kompensation mit 2RC-Gliedern Kurve 1: unkompensierter Frequenzgang der Leerlaufverstärkung Kurve 2: kompensierter Frequenzgang der Leerlaufverstärkung Kurve 3: Frequenzgang des ersten Kompensationsgliedes Kurve 4: Frequenzgang des zweiten Kompensationsgliedes Liegt die Leerlaufverstärkung über 1000 so ist es notwendig mehrere Kompensationsglieder anzuwenden, die an verschiedenen Schaltungspunkten angeschlossen werden. Dabei ist es allerdings notwendig, daß ihre Frequenzgänge aneinander anschließen, und daß keine Lücke zwischen den einzelnen Frequenzgängen entsteht. Abb.6 zeigt , den Verlauf der Kompensation mit 2 aneinandergereihten Kompensationsgliedern.

    Die Phasenverschiebung bei dieser Methode wird nie größer als -90°, wenn man die untere Grenzfrequenz des zweiten Kompensationsgliedes gleich der oberen Grenzfrequenz des ersten Kompensationsgliedes wählt. Somit wirken die beiden aneinandergereihten Kompensationsglieder genauso, wie ein einzelnes, das in Abbildung 5 zu sehen ist.     KOMPENSATION FÜR V0’>1 Ist es im Vorhinein bekannt, daß ein Verstärker nicht voll sondern nur auf einen Wert V0’>1 gegengekoppelt wird, ist es für die Phasenkompensation nicht nötig V0 bis auf einen Wert von Eins, sondern nur auf den Wert von V0’ herunterzusetzen, so wie im Grundlagenabschnitt beschrieben. Die Abschwächung des Kompensationsgliedes braucht dann nur noch den Wert zu besitzen. Die nächste Abbildung (Abbildung 7) zeigt die Kompensation bei dem selben Verstärker wie vorher, jedoch mit einer Verstärkung von V(f)0’=100.    Abb.

7 Frequenzgang der Verstärkung Kurve 1: unkompensierter Verstärker /Kurve 2: kompensierter Verstärker Kurve 3: gegengekoppelter kompensierter Verstärker /Kurve 4: Kompensationsglied Es ist hier deutlich erkennbar, daß die Leerlaufbandbreite gegenüber dem in Abb.6 gezeigten Verstärker um den Faktor V0’ größer geworden ist. Die Bandbreite der Verstärkung V’ hat sich jedoch trotz der schwächeren Gegenkopplung nicht geändert, und ist nach wie vor gleich der Frequenz f1. Bei gegebener Kompensation ist die Bandbreite proportional zur Schleifenverstärkung g. Wählt man jedoch die Kompensation nur so stark, wie es die jeweilige Gegenkopplung erfordert, bleibt die Bandbreite der Verstärkung V’ konstant gleich der Leerlaufbandbreite der unkompensierten Verstärkers.       KOMPENSATIONSPUNKTE     Abb.

10 Aufgetrennter Verstärker mit Kompensationsglied zur Unterstützung der Ausgangsaussteuerbarkeit bei hohen Frequenzen. Es ist im Prinzip gleichgültig an welcher Stelle man des Verstärkers man den Frequenzgang kompensiert. Das Rauschen und die Großsignalbandbreite hängen jedoch stark vom gewählten Kompensationspunkt ab. Die Bandbreite eines Kompensierten Verstärkers nimmt mit zunehmender Gegenkopplung zu. Das gilt aber nur bei kleiner Aussteuerung. Treten größere Amplituden bei höheren Frequenzen auf, so wird der Verstärker leicht übersteuert.

Dieses Verhalten wird an Abb.10 näher erklärt. Zur näheren Betrachtung wird der Verstärker in zwei Teile zerlegt, zwischen denen wir das Kompensationsglied anschließen. Die Eingangsspannung wird so groß gewählt, daß am Ausgang die Vollaussteueung von z. B. 10 V auftritt.

Als erstes wird das RC-Glied unmittelbar vor dem Leistungsverstärker angeschlossen. Dann ist die Ausgangsverstärkung V2(f)=1. Am Eingang des 2. Verstärkers sind dann ebenfalls 10 V für die Vollaussteuerung notwendig. Bei niedrigen Frequenzen ist die Abschwächung des Kompensationsgliedes noch gleich 1, am Ausgang des 1. Verstärkers treten also noch 10 V auf.

Bei hohen Frequenzen ist die Abschwächung mit gewählt. Soll nun bei diesen Frequenzen eine Vollaussteuerung auftreten, sind dazu am Ausgang des 1. Verstärkers 1000V nötig. Kann der 1.Verstärker maximal 20V liefern, so beträgt die Ausgangsspannung dann nur 0,2V. Sobald die Ausgangsspannung bei hohen Frequenzen den Wert von 0,2V erreicht, wird die Gegenkopplung unwirksam, weil dann der 1.

Verstärker übersteuert wird. Der weitere Anstieg der Ausgangsspannung wird dann nur noch von der Zeitkonstante RiCk bestimmt und nicht mehr von der Gegenkopplung beschleunigt. Man erkennt, daß durch das angeschlossenen Kompensationsglied die Aussteuerbarkeit bei hohen Frequenzen drastisch verkleinert wird. Wie schnell die Ausgangsspannung bei großer Amplitude ansteigen kann, wird durch die Anstiegsgeschwindigkeit (slew rate) charakterisiert.     Abb.11 Kompensationsglied am Eingang des Operationsverstärkers Nun wird das Kompensationsglied nicht vor dem Leistungsverstärker sondern vor der letzten Spannungsverstärkerstufe angeschlossen.

Die Spannungsverstärkung dieser Stufe wird mit V(f)2=100 gewählt. Dann benötigt der 2. Verstärker in dem oben angeführten Beispiel nur 0,1V am Eingang für eine Vollaussteuerung am Ausgang. Bei Vollaussteuerung muß der erste Verstärker daher nicht 1000V sondern nur 10 V für die Vollaussteuerung am Ausgang liefern. Generell kann man sagen, daß die Aussteuerbarkeit bei hohen Frequenzen umso weniger beeinträchtigt wird, je größer die nachfolgende Spannungsverstärkung ist. Das Äußerste was man in dieser Richtung tun kann ist, daß man dann Kompensationsglied zwischen den Eingängen des Kompensationsgliedes anschließt, wie in Abb.

11 zu sehen.   Das Kompensationsglied zwischen den Eingängen setzt die Bandbreite des Eingangssignals herunter, während die Bandbreite des nachfolgenden Verstärkern nicht beeinflußt wird. Dadurch wird aber die Rauschspannung uR mit der vollen Bandbreite des unkompensierten Verstärkers verstärkt. Außerdem werden hohe Frequenzen wegen des Kompensationsgliedes nur wenig gegengekoppelt. Die Rauschspannung wird in diesem Bereich also wesentlich stärker als das Eingangssignal verstärkt, nämlich mit . Bei der Kompensation im Verstärker wie in Abbildung 10 wird das Eingangsrauschen nicht höher verstärkt als das Eingangssignal selbst.

Durch das Kompensationsglied werden nämlich Signal- und Rauschspannung in gleicher Weise abgeschwächt. Lediglich das Rauschen des nachfolgenden Verstärkers wird breitbandig verstärkt. In diesem Punkt ist es aber in der Regel schon klein gegenüber dem verstärkten Eingangsrauschen. Zusammenfassend kann man also sagen, Zur Kompensation des Frequenzganges ist es gleichgültig, wo man das Kompensationslied anschließt, je näher man es jedoch in Eingangsnähe plaziert, desto weniger wird die Aussteuerbarkeit beeinträchtigt, desto stärker wird aber auch das Rauschen am Ausgang. Bisher haben wir das Kompensationsglied immer nach Masse angeschlossen. Es gibt aber auch noch weitere Anschlussmöglichkeiten.

Eine Möglichkeit besteht darin, eine Stufe mit dem Kompensationsglied frequenzabhängig gegenzukoppeln, wie in Abb.13 zu sehen ist. Wie im Kapitel der -90° Kompensation gezeigt, wirkt der Gegenkopplungswiderstand bezüglich eines Eingangswiderstandes so, als ob ein um den Faktor 1/V(f) kleinerer Widerstand zur Basis-Emitterstrecke parallel läge. Für das in Abb.14 eingezeichnete äquivalente RC-Glied RK CK gilt demnach. Abb.

13 Phasenkompensation durch Gegenkopplung   Abb.14 Äquivalente Kompensation nach Mess   Durch den Vergleich der Real- und Imaginärteile folgt R’K=V(f)RK C’K=CK/V(f). Darin ist V(f) die Spannungsverstärkung der betreffenden Stufe ohne Spannungsgegenkopplung. Ein Vorteil der betreffenden Methode ist, daß sich der Ausgangswiderstand der Stufe verkleinert. Ein weiterer Vorteil besteht darin, daß bei Übersteuerung C’K nicht mehr dynamisch vergrößert wird, und die Schaltung daher sehr schnell in den linearen Betrieb zurückkehrt. Diese Methode wird in integrierten Schaltungen bevorzugt verwendet, weil man dann mit Kompensationskapazitäten in der Größenordnung von 30pF auskommt.

Solche Kondensatoren lassen sich in monolithischer Technik leicht herstellen.   STABILISIERUNG BEI KAPAZITIVER LAST Abb.15 Lastabhängige Kompensation  Wenn man den Ausgang eines Operationsverstärkers mit einem Kondensator belastet, entsteht zusammen mit dem Ausgangswiderstand der Schaltung ein Tiefpaß, der eine Zusätzliche Phasenverschiebung von -90° verursachen kann. Ein Verstärker mit -90° Phasenspielraum wäre dann zwar gerade noch stabil, hätte aber dann ein schlechte Rechteckübertragungsverhalten. Bei geringen Phasenspielraum treten Schwingungen auf. Wünscht man ein gutes Übertragungsverhalten, muß man den Phasenspielraum aK auf über -90° vergrößern.

Dazu kann man die Kompensationsglieder anhand der Tabelle so dimensionieren, daß sie eine Phasenverschiebung von weniger als -90° verursachen. Damit ist allerdings zwangsläufig eine Verringerung der Leerlaufbandbreite verbunden, die bei ohmscher Belastung nur Nachteile bringt.   . Da man ungern die Kompensation häufig umdisponiert, wünscht man sich eine Kompensation, die sich automatisch an die Belastung anpaßt. Eine solche Möglichkeit zeigt Abb.15.

Der Grundgedanke ist der, daß man die Spannungsverstärkung V(f) bei der Schaltung Abbildung 13 durch Stromgegenkopplung in Abhängigkeit von der Ausgangsbelastung ändert der Verbraucher liegt dynamisch. Parallel zu RE. Bei kapazitiver Belastung verkleinert sich der Widerstand. RV(f)\\RE bei höheren Frequenzen stark. Deshalb steigt die Spannungsverstärkung V(f)= -duC/duE vom Wert RC/RE ohne Belastung bis auf den Wert bRC/rBE an. Dadurch verkleinert sich der aquivalente Kompensationswiderstand RK in Abbildung 13 und bewirkt eine stärkere Abschwächung.

Der äquivalente Kompensationskondensator vergrößert sich in dem selben Maß und setzt die untere Grenzfrequenz des Kompensationsgliedes herunter. Durch die größere Abschwächung wird fK zu tieferen Frequenzen hin verschoben und gelangt dadurch in ein Gebiet, in dem der Verstärker selbst noch keine nennenswerte Phasenverschiebung verursacht, die Phasenverschiebung des RC-Gliedes aber bereits auf kleine Werte zurückgegangen ist. Die Phasenverschiebung des kompensierten Verstärkers wird dabei bei kapazitiver Last niedriger und gleicht die zusätzliche Phasenveschiebung des Belastungskondesators aus. Die Phasenverschiebung, die infolge der kapazitiven Belastung auftritt, kann auch durch die externe Gegenkopplung kompensiert werden. Dazu gibt man der gegegengekoppelten Spannung eine positive Phasenverschiebung, indem man die Gegenkopplung als Differenzierglied ausbildet. Diese Methode bezeichnet man als Lead-Kompensation, während man die bis jetzt beschriebenen Methoden unter dem Namen Lag-Kompensation zusammenfaßt.

 Abb.16 Kompensation mit differenzierender Gegenkopplung Macht man RK Abbildung 16 gleich Null wirkt CKR1als Differenzierglied für ua . Mit dem Widerstand RK läßt sich die differenzierende Wirkung noch verbessern. Das Differenzierglied differenziert dann die Spannung u1. Da der Verstärker über die Gegenkopplung dafür sorgt, daß die Ausgangsspannung, mit der Eingangsspannung in Gegenphase ist solange g>>1 ist, eilt u1 der Ausgangsspannnung voraus. Damit läßt sich die differenzierende Wirkung von CK noch unterstützen.

Günstige Werte für RK liegen im Bereich von 5 bis 50 W. Die Lead-Kompensation ist nicht nur zur Stabilisierung bei kapazitiver Last vorteilhaft, sondern kann auch bei ohmscher Last einige Vorteile bringen.   Da die gegengekoppelte Spannung der Ausgangsspannung voreilt, kann man die interne Lag-Kompensation für einen geringeren Phasenspielraum dimensionieren, also schwächer machen. Man erreicht dadurch eine größere Schleifenverstärkung bei hohe Frequenzen. Die Abbildungen 17, und 18 zeigen die Anwendung der Lead-Kompensation beim Umkehr- und Elektrometerverstärker. Da die differenzierende Wirkung in der Nähe von fK eintreten soll, muß CK»1/2PfKR1 gewählt werden.

Dann läßt sich der kritische Phasenspielraum etwa um 45° vergrößern. Da fK von der eingestellten Verstärkung Abhängt, ist die Lead-Kompensation nur bei weitgehend konstanter Verstärkung anwendbar.       Abb.17 Leadkompensation bei Umkehrverstärker Abb.18 Leadkompensation beim Elektrometerverstärker   VORAUSSETZUNGEN FÜR DIE STABILISIERBARKEIT EINER SCHALTUNG Es ist unbedingt notwendig, einen OPV mit niederohmigen Spannungsquellen zu betreiben, sonst können Rückkopplungen im Verstärker über den Innenwiderstand der Spannungsquelle auftreten. Auch bei der Verwendung geregelter Netzgeräte mit niedrigem Innenwiderstand ist es im Allgemeinen notwendig, hochfrequente Spannungen direkt am Verstärker kurzzuschließen, da die Zuleitungen einen hohen induktiven Widerstand besitzen können.

Sehr störend ist es, wenn ein Transistor des Verstärkers im UKW-Bereich schwingt. Das macht sich dadurch bemerkbar, daß sich die Ausgangsgleichspannung ändert, wenn man den schwingenden Transistor berührt oder auch nur in seine Nähe kommt. Um solche Schwingungen zu vermeiden, sollte man die Basis eines Transistors weder direkt noch wechselspannungsmäßig an Masse legen. Man schaltet dazu einen Vorwiderstand von 100W bis 1kW direkt vor die Basis.                                   Lead Kompensation  Abb.19  Bei dieser Kompensationsmethode Addiert man eine Nullstelle zur Übertragungsfunktion der Schleifenverstärkung VsºGVGR.

Dadurch wird die Nacheilung des Phasenwinkels in der Umgebung der Schnittfrequenz fs verringert. Die Lead-Kompensation ist die Methode zur Erzielung besonders großer Bandbreite. Hinsichtlich ihrer Dimensionierung ist sie nicht ganz unkritisch. Bei niedrigen Frequenzen bewirkt sie einen Verstärkungsverlust. Sie ist deshalb weniger verbreitet als die vorher besprochenen Methoden. Die in Abbildung 20 gezeigt werden.

Die Übertragungsfunktion des Korrekturgliedes lautet: mit TP < TN Dabei ist TN=R1C, TP=(R1//R2)C Die Verstärkung bei niedrigen Frequenzen wird um den Faktor fN/fP verringert. Wenn wir die Übertragungsfunktion der Schleifenverstärkung ohne Korrektur durch eine 3-Pol Übertragungsfunktion beschreiben, ergibt sich als Übertragungsfunktion der Schleifenverstärkung mit Korrekturglied Setzen wir TN gleich T2 so bringt das Korrekturnetzwerk die 2. Eckfrequenz des nichtkorregierten Systems zum verschwinden. Falls f1<f3<<fp gilt, beträgt die Phasenverschiebung der Schleifenverstäkung js ungefähr -135°. Die Schnittfrequenz kann also ungefähr bei f3 liegen. Die Bandbreite ist merklich größer, als bei allen bisher besprochenen Kompensationsmethoden.

Nachteile der Lead-Kompensation sind: Eine ungenügende Phasensicherheit, falls der Phasenwinkel der nichtkorregierten Übertragungsfunktion in der Umgebung von fs sehr schnell anwächst. Der Abfall der Schleifenverstärkung bei niedriger Frequenz. Oft wird deshalb auch die Lead-Kompensation mit der Lag-Kompensation kombiniert. Bei gegengekoppelten OPV`s wird die Lead-Kompensation gelegentlich angewendet um gr zu verändern (Schleifenverstärkung). Wie jetzt gezeigt wird.                       KOMPENSATION DURCH VERÄNDERUNG DES FREQUENZGANGES DES GEGENKOPPLUNGSNETZWERKES Variante 1 Abb.

20: Die Übertragungsfuktion des nicht gegengekoppelten Verstärkers ist durch: beschrieben. Dies Übertragungsfunktion ergibt sich aus Abbildung 19 wenn man die Leerlaufverstärkung durch eine 3-Polübertragungsfunktion beschreibt, und Rg<<1/(1/(R+jwC)) voraussetzen, sodaß der Einfluß des RC Gliedes bei der Berechnung von Rm vernachlässigbar ist.  Abb.20  Der Faktor kºGr hat unter den Voraussetzungen Ua>>U d die Größe 1 Die Schleifenverstärkung der gegengekoppelten Schaltung beträgt dann mit TN=CR=1/2PfN Der Kondensator C erzeugt eine zusätzliche Nullstelle in der Übertragungsfunktion Vs. Wählt man fn=f2 so wird eine 2. Eckfrequenz des unkorregierten Verstärkers kompensiert, und man kann fs ungefähr f3 erhalten, falls f4>>f3 ist .

In diesem Fall mußbetragen.   Variante 2 Abbildung 21: Korrekturglied am Verstärkereingang. Durch die Frequenzgangkompensation wird häufig die slew rate des Verstärkers verschlechtert. Die Frequenzgangkompensation am Verstärkereingang vermeidet weitgehend diesen Nachteil. Die Wirkungsweise dieser Kompensation zeigt Abb.19.

Abb.19b zeigt den Amplitudengang des vorgeschalteten Kompensationsgliedes. Es bewirkt, daß die Verstärkung des kompensierten Verstärkers oberhalb der Frequenz f1’ mit 20dB/Dekade abfällt. Damit oberhalb von f1 Der Verstärkungsabfall nicht mit 40dB/Dekade erfolgt, dimensioniert man die Frequenz der Nullstelle f2’ so, daß der Pol bei f1 verschwindet. Somit fällt die Verstärkung erst oberhalb f2 mit 40dB/Dekade ab. Durch eine kleine Kapazität Ci kann eine weitere Nullstelle bei f3’ erzeugt werden.

Wählt man nun f3’=f2, so läßt sich hiermit auch die zweite Eckfrequenz f2 des Verstärkers zum verschwinden bringen.  Abb.21  Die Lag-Lead Kompensation mit 2 rückwirkungsfreien Gliedern Man kann auch zwei Lag-Lead Kompensationsnetzwerke mit gleichen Eckfrequenzen rückwirkungsfrei in Serie schalten. Der Amplitudenabfall im Frequenzbereich zwischen fP und fN beträgt dann 40dB je Dekade. Hierdurch wird der dominierende Pol fP zu noch höheren Frequenzen verschoben. Bei der Lag-Leadkompensation ist die volle Schleifenverstärkung an einem wesentlich größeren Frequenzbereich wirksam.

 Abb.22  Beispiel: Wie groß ist fP, wenn zwei gleiche Lag-Leadkompensationsnetzwerke zur Frequenzkorrektur verwendet werden? fN=f1=3kHz fS=f2=2Mhz Da der Abfall von V(s) im Bereich f1...f S 20dB/Dekade beträgt, gilt fS/f=VS1=667 Im Bereich fP..

.f1 fällt V(s) mit 40dB pro Dekade ab. Daher gilt Vs=VS0(fp/f)2 und folglich beträgt VS1=VS0(fP/f1)2 Die Polfrequenz fP beträgt also 550Hz                         Feed Forward Kompensation Die Feed Forward Kompensation kann nur bei bestimmten OPV’s verwendet werden, da bei dieser Kompensationsmethode direkt in die Innenschaltung des OPV’s eingegriffen wird und daher Kompensationseingänge an den Pins des IC’s vorhanden sein müssen. PASSIV Für die Erklärung der passiven Feed Forward Kompensation teilt man den OPV in 2 Verstärkerstufen auf:    Die erste Verstärkerstufe ist eine spannungsgesteuerte Stromquelle mit der Verstärkung . Die Spannungsverstärkung erhält man erst durch den Widerstand R: ohne den Kondensator im Rückkopplungszweig ergibt sich für Um die Funktionsweise dieser Schaltung näher zu erläutern muß V1’ berechnet werden, damit es im Bode-Diagramm dargestellt werden kann: wC1 und wC2 entsprechen den Frequenzen, bei denen im unkorrigierten Frequenzgang der Verstärkung Knicke auftreten. wC1‘ analog nur im korrigierten Frequenzgang.

    Voraussetzung: V01>>1   Frequenzbereich Übertragungsfunktion      Für die Berechnung des Kompensationskondensators muß der Eingangswiderstand R, die Frequenz wC2 und die Verstärkung V1(wC2) bekannt sein:   AKTIV Diese Kompensationsmethode hat den Vorteil, daß der Verstärker über einen größeren Frequenzbereich verwendbar ist (größere Bandbreite).           Bei dieser Kompensationsmethode ist die Wahl der Grenzfrequenz nicht so entscheidend, wie die Wahl der Verstärkung V03. Wenn V03 falsch gewählt entsteht, wie in obigem Bodediagramm ersichtlich, ein Knick im Verstärkungsverlauf.   Anhang   MILLER-EFFEKT Betrachtet man die analoge Schaltungstechnik, so wird hier häufig vom Prinzip der dynamischen Widerstandserhöhung bzw. -erniedrigung Gebrauch gemacht. Diese hier erwähnte und mit Miller-Effekt bezeichnete Erscheinung wird zur Erzielung bestimmter Schaltungseigenschaften genutzt.

Dieser Effekt tritt aber nicht nur positiv in Erscheinung, wie z.B. als dynamische Instabilität (Verstärkungsabfall bei Emitter- und Sourceschaltungen bei hohen Frequenzen. Hier wird nun die Wirkungsweise nachfolgend anhand des Millerschen Theorems erläutert, durch dessen Anwendung sich viele Schaltungsberechnungen vereinfachen lassen. Millersches Theorem Die beiden oben gezeichneten Netzwerke sind hinsichtlich des Klemmenverhaltens komplett gleichMillersches Theorem: Wir wollen nun ein beliebiges Netzwerk mit den Knoten 1,2, ..

.N betrachten. Alle bei diesen Netzwerken auftretenden Knotenspannungen sind auf den Bezugsknoten N bezogen. Zwischen zwei beliebigen Knoten liegt die Impedanz Z’ diese kann reell oder Komplex sein. Es wird weiters vorausgesetzt, daß das Verstärkungsverhältnis V=U2/U1 bekannt ist. Der nun vom Knoten 1 wegfließende Strom beträgt: Sobald Z’ entfernt wird, und durch einen Widerstand zwischen dem Knoten 1 und dem Bezugsknoten N ersetzt wird, ändert sich der Strom.

Der Strom der vom Knoten 2 wegfließt beträgt dann:   Dieser Strom ändert sich wenn der Widerstand Z’ entfernt wird und stattdessen ein Widerstand zwischen dem Knoten 2 und dem Bezugsknoten N geschaltet wird. Es wird festgestellt, daß die oben gezeichneten Netzwerke hinsichtlich ihres Klemmenverhaltens vollkommen gleich sind. Es ist jedoch nur dann sinnvoll den Miller-Effekt zu benutzen, wenn sich die Spannungsverstärkung zumindest näherungsweise, ohne große Mühen berechnen läßt. Besonders Vorteilhaft ist die Anwendung des Millerschen Theorems zur Berechnung von Eingangswiderständen und -kapazitäten, von Transistor- und Verstärkungsschaltungen die Überbrückungswiderstände bzw. -kapazitäten zwischen Eingangs und Ausgangsklemme enthalten. Die Berechnung des Ausgangswiderstandes sollte dagegen auf andere Weise erfolgen, weil die Anwendung des Millerschen Theorems zu Fehlschlüssen führen kann.

                                                                  KOMPENSATION FÜR -60° PHASENSPIELRAUM Abb.8 Kompensation für 60° Phasenspielraum Kurve 1,8: Frequenzgang der unkompensierten Leerlaufverstärkung und Phasenverschiebung Kurve 2,9: Frequenzgang der kompensierten Verstärkung und Phasenverschiebung Kurve 3: Frequenzgang für 90° Phasenspielraum zum Vergleich Kurve 4,6: Frequenzgang der Abschwächung und Phasenverschiebung des ersten Kompensationsgliedes Kurve 5,7: Frequenzgang der Abschwächung und Phasenverschiebung des zweiten Kompensationsgliedes Bei einem Verstärker bei dem nur eine rein ohmsche Gegenkopplung vorgesehen ist, reicht ein Phasenspielraum von -60° voll und ganz aus. Man erhält dann ein optimales Übertragungsverhalten. Damit ein Winkel von a=-60° auftritt, dürfen Verstärker und Kompensationsglied gemeinsam nur einen Phasenverschiebung von -120° verursachen. Es ist eindeutig klar, daß sich eine solche Phasenverschiebung nur schwer über einen weiten Frequenzbereich realisieren läßt. Da das Rechteckübertragungsverfahren praktisch nur von a(fk)=aK bestimmt wird, sorgt man zunächst dafür, daß beider Frequenz fK eine Phasenverschiebung von -120° auftritt.

Um den natürliche Frequenzgang des Verstärkers möglichst weit auszunützen, wählt man dazu fg1=f1 und läßt fk näher an die Frequenz f2 heranrücken. Liegen tiefere Frequenzen an, so bringt ein kleinerer Phasenspielraum den Vorteil, daß die Steigung der Frequenzgangkurve und damit die Leerlaufbandbreite größer wird. Um diesen Effekt zu erreichen wählt man die untere Grenzfrequenz der RC-Glieder jeweils etwas kleiner als die obere des vorhergehenden. Die auftretende Phasenverschiebung muß man im Einzelfall durch Überlagerung ermitteln. Die Abbildung 8 zeigt eindeutig die Kompensation mit 2 RC-Gliedern, bei denen fg1/fg2 100 ist. Der Frequenzgang der Phasenverschiebung wurde aus Abb.

4 entnommen.                                                       KOMPENSATION FÜR EINEN PHASENSPIELRAUM VON 0°   Abb.9   Kompensation für 0° Phasenspielraum Kurve 1,6: Frequenzgang der unkompensierten Leerlaufverstärkung und Phasenverschiebung Kurve 2,7: Frequenzgang der kompensierten Verstärkung und Phasenverschiebung Kurve 3: Frequenzgang für 90° Phasenspielraum zum Vergleich Kurve 4,5: Frequenzgang der Abschwächung und Phasenverschiebung der Kompensationsglieder  Wie wir im vorhergehenden Abschnitt gesehen haben war es schwierig einen Phasenspielraum von -60° über einen konstanten Frequenzbereich zu erhalten. Wird eine Verstärker mit einer festen, rein ohmschen Gegenkopplung betrieben, das heißt V0’ ist konstant, so genügt es einen kritischen Phasenspielraum von -60° zu wählen, denn nur durch diesen wird der Frequenzgang der Verstärkung bei Gegenkopplung und das Übertragungsverhalten bestimmt. Die Leerlaufbandbreite und die Schleifenverstärkung bei niederer Frequenz ist umso größer, je steiler die Frequenzgangkurve der kompensierten Leerlaufverstärkung verläuft. Um zu garantieren, daß der Verstärker stabil bleibt, darf die Steigung den Wert -40dB\Dekade bei keinem Frequenzwert ganz erreichen.

Diese Bedingung ist erfüllt wenn man die Verstärkung mit zwei gleiche RC-Gliedern heruntersetzt. Dann beleibt die maximale Phasenverschiebung unter -180°, solange der Verstärker selbst noch keine Phasenverschiebung verursacht. Da die Phasenverschiebung bei er Frequenz fk wieder auf den Wert von -120° abnehmen soll, wählt man fg2 etwa gleich 0,1 fK. Damit hat die Phasenverschiebung der Kompensationsglieder im Bereich zwischen f1 und f2 kleine Werte erreicht und der Phasenspielraum ak wird fast ausschließlich durch die natürliche Phasenverschiebung des Verstärkers bestimmt. Es wird denn für die Frequenz fk der Wert gewählt, bei dem der Verstärker allein eine Phasenverschiebung von -120° aufweist. In Abb.

9 wird diese Kompensationsmethode anschaulich gezeigt. Darin ist zu erkennen, daß bei tiefen Frequenzen die Leerlaufverstärkung wesentlich größer ist als bei -90° Phasenspielraum. Die mit dem steilen Abfall der Verstärkung verbundene Phasenverschiebung nahe j=-180°, treten bei Frequenzen auf, bei denen die Schleifenverstärkung g=V/V’ noch hohe Werte besitzt. In der Nähe von fK verkleinert sich die Phasenverschiebung auf j=-120°. Während sich das Übertragungsverhalten bei den vorhergehenden Kompensationsmethoden nicht nennenswert ändert, wenn man schwächer gegenkoppelt, verschlechtert es sich hier stark, da aK kleine Werte annimmt. Man muß die Kompensationsglieder also für jeden Wert von V(f)0’ speziell dimensionieren.

Da beide RC-Glieder den selben Frequenzgang besitzen sollen, erhält man für die Abschwächung: Daraus folgt dann für die Kompensationskapazitäten: Für die untere Grenzfrequenz erhält man daher: . Wie in Abbildung 9 erkennbar ist, ist a»g0. Bei der Kompensation für -90° Phasenspielraum gilt für die untere Grenzfrequenz: . Die Kompensation für 0° Phasenspielraum vergrößert also die Bandbreite gegenüber der -90° Kompensation um dasÖg0 fache. Die Anwendung dieser Methode ist daher nur bei großen Schleifenverstärkungen sinnvoll.     VERWENDETE BEZEICHNUNGEN ABKÜRZUNGEN V0 Gleichstromverstärkung des OPV’s ohne Beschaltung V Open-Loop-Verstärkung (Verstärkung des OPV’s ohne Beschaltung) V0’ Gleichstromverstärkung der Schaltung V’ Verstärkung der Schaltung g Schleifenverstärkung (V/V’=kV) manchmal auch VS a Phasenspielraum od.

Phasenreserve (a=-(180°+j)) fk kritische Frequenz (V=V0’) ak kritischer Phasenspielraum (a bei fk)   allgemein: Verstärkungen mit Index 0 sind Gleichstromverstärkungen Verstärkungen mit ’ sind Verstärkungen mit Gegenkopplung Index k: Bezug auf die kritische Frequenz DEFINITIONEN Kritische Frequenz: Ist jene Frequenz bei der die Open-Loop-Verstärkung V gleich groß wie V0’ wird. Kritischer Phasenspielraum: Phasenspielraum a bei der kritischen Frequenz; wenn ak=0 ist, dann ist die Schaltung instabil.

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